题目

判断题（共10题，每题2.00分）1.向量组alpha_(1)=(1,1,1,1),alpha_(2)=(1,1,1,0),alpha_(3)=(1,1,0,0),alpha_(4)=(1,0,0,0)线性无关.（）bigcirc正确 bigcirc错误

判断题（共10题，每题2.00分） 1.向量组$\alpha_{1}=(1,1,1,1)$,$\alpha_{2}=(1,1,1,0)$,$\alpha_{3}=(1,1,0,0)$,$\alpha_{4}=(1,0,0,0)$线性无关.（） $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

将向量组构成矩阵 $A$，进行行初等变换至行阶梯形： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 变换后得到单位矩阵，秩为4，等于向量个数，故向量组线性无关。 答案：$\boxed{\text{正确}}$

解析

考查要点：本题主要考查向量组线性相关性的判断方法，特别是通过矩阵的秩来判断向量组是否线性无关。

解题核心思路：
将向量组作为矩阵的行（或列）构成矩阵，通过行初等变换化为行阶梯形矩阵，判断矩阵的秩。若秩等于向量个数，则向量组线性无关；否则线性相关。

破题关键点：

  • 矩阵秩的计算：通过行变换得到行阶梯形矩阵，统计非零行的数量即为矩阵的秩。
  • 秩与向量个数的关系：若秩等于向量个数，则线性无关。

将向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$作为行向量构成矩阵$A$，进行行初等变换：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

行变换过程：

  1. 第一列消元：用第一行消去下方各行的第一个元素，得到：
    $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

  2. 交换第二、四行，并将第二行标准化：
    $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

  3. 第三列消元：用第三行消去下方元素，第四行标准化：
    $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

  4. 继续向上消元，最终得到单位矩阵：
    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

结论：变换后矩阵的秩为4，等于向量个数，故向量组线性无关。