58.若 lim _(xarrow 0)dfrac ((1+x)(1+2x)(1+3x)+a)(x)=6, 则a的值为 ()-|||-A. -1 B.1 C.2 D.3

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用多项式展开或等价无穷小替换处理分式极限的问题。

解题核心思路：
当分母趋近于0时，若极限存在且为有限值，则分子也必须趋近于0。因此，首先通过代入$x=0$确定分子中的常数项$a$，再展开分子多项式，利用低次项系数求解极限。

破题关键点：

1. 分子在$x=0$时必须为0，否则极限不存在或为无穷大。
2. 展开分子多项式，保留到一阶项，通过极限条件确定$a$的值。

步骤1：确定分子在$x=0$时的值

将$x=0$代入分子$(1+x)(1+2x)(1+3x)+a$，得：
$1 \cdot 1 \cdot 1 + a = 1 + a.$
因为分母$x \to 0$时极限存在且为有限值，所以分子必须为0，即：
$1 + a = 0 \implies a = -1.$

步骤2：展开分子多项式并化简

将$a=-1$代入分子，展开$(1+x)(1+2x)(1+3x)$：

1. 前两括号相乘：
   $(1+x)(1+2x) = 1 + 3x + 2x^2.$
2. 与第三个括号相乘：
   $(1 + 3x + 2x^2)(1 + 3x) = 1 + 6x + 11x^2 + 6x^3.$
3. 代入$a=-1$：
   分子变为：
   $1 + 6x + 11x^2 + 6x^3 - 1 = 6x + 11x^2 + 6x^3.$

步骤3：计算极限

将分子除以$x$：
$\frac{6x + 11x^2 + 6x^3}{x} = 6 + 11x + 6x^2.$
当$x \to 0$时，高阶项趋近于0，极限为：
$\lim_{x \to 0} (6 + 11x + 6x^2) = 6.$
符合题目条件，故$a = -1$。