[题目]计算 (int )_(1)^+infty dfrac (arctan x)({x)^2}dx

考查要点：本题主要考查分部积分法和部分分式分解的应用，以及处理广义积分（无穷限积分）的技巧。

解题核心思路：

1. 分部积分法：选择合适的分部积分变量，将原积分转化为更易处理的形式。
2. 部分分式分解：将复杂的分母拆分为简单分式的和，简化积分过程。
3. 极限计算：处理积分上下限为无穷大时的极限问题，注意代数化简和特殊函数的极限值（如$\arctan x$在$x \to +\infty$时的极限）。

破题关键点：

• 分部积分的选择：设$u = \arctan x$，$dv = \frac{1}{x^2}dx$，简化积分形式。
• 部分分式分解：将$\frac{1}{x(1+x^2)}$分解为$\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}$，降低积分难度。
• 极限分析：正确计算积分上下限为无穷大时的极限值，尤其是涉及$\arctan x$和对数函数的组合表达式。

分部积分法应用：
设$u = \arctan x$，则$du = \frac{1}{1+x^2}dx$；设$dv = \frac{1}{x^2}dx$，则$v = -\frac{1}{x}$。
根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，原积分可化简为：
$\begin{aligned}\int_{1}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2} dx &= \left. -\frac{\arctan x}{x} \right|_{1}^{+\infty} + \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} dx.\end{aligned}$

处理第一项：
当$x \to +\infty$时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，故$\lim_{x \to +\infty} \frac{\arctan x}{x} = 0$；
当$x=1$时，$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。因此：
$\left. -\frac{\arctan x}{x} \right|_{1}^{+\infty} = 0 - \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4}.$

部分分式分解：
将$\frac{1}{x(1+x^2)}$分解为$\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}$，则积分变为：
$\int_{1}^{+\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2} \right) dx.$

逐项积分：

1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x|$；
2. $\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2)$。
   因此，积分结果为：
   $\left. \left( \ln x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right) \right|_{1}^{+\infty} = \left. \ln \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right|_{1}^{+\infty}.$

计算极限：

• 当$x \to +\infty$时，$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \to 1$，故$\ln 1 = 0$；
• 当$x=1$时，$\ln \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \ln 2$。
  因此，第二项的积分结果为：
  $0 - \left( -\frac{1}{2} \ln 2 \right) = \frac{1}{2} \ln 2.$

合并结果：
将两部分相加，最终结果为：
$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2.$