求极限：lim _(xarrow 0)dfrac ({(1+x))^dfrac (1{x)}-e}(x)

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及指数函数的泰勒展开、等价无穷小替换以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 将复杂表达式转化为指数形式，利用自然对数与指数函数的转换简化问题。
2. 展开关键部分：对分子中的指数部分进行泰勒展开或等价无穷小替换，提取主要项。
3. 应用洛必达法则：当分子分母均为无穷小量时，通过多次求导消去不定式，最终化简求解。

破题关键点：

• 识别极限形式：分子为$0$，分母为$0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式，可考虑洛必达法则。
• 灵活使用泰勒展开：将$\ln(1+x)$和$e^x$展开到足够高阶，保留有效项。
• 分步化简：通过代数变形将原式转化为更易处理的形式，逐步逼近最终结果。

步骤1：将指数表达式转化为自然对数形式
原式分子为$(1+x)^{1/x} - e$，可改写为：
$(1+x)^{1/x} = e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}.$
因此，原式变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{\ln(1+x)}{x}} - e}{x}.$

步骤2：提取公共因子并展开指数项
提取$e$作为公共因子：
$e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{\ln(1+x)}{x} - 1} - 1}{x}.$
令$a(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} - 1$，当$x \to 0$时，$a(x) \to 0$，利用泰勒展开$e^a \approx 1 + a + \frac{a^2}{2}$，得：
$e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{a(x) + \frac{a(x)^2}{2}}{x}.$

步骤3：展开$\ln(1+x)$并化简$a(x)$
展开$\ln(1+x)$到二阶：
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2),$
代入$a(x)$得：
$a(x) = \frac{x - \frac{x^2}{2}}{x} - 1 = -\frac{x}{2} + o(x).$

步骤4：代入展开式并化简
将$a(x)$代入原式：
$e \cdot \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x}{2} + \frac{(-\frac{x}{2})^2}{2} + o(x)}{x} = e \cdot \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{2} + \frac{x}{8} + o(1) \right).$
当$x \to 0$时，高阶小项趋近于$0$，最终结果为：
$-\frac{e}{2}.$