用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵:-|||-0 2 -3 1-|||-O 3 -4 3 ;-|||-0 4 -7 -1

考查要点：本题主要考查利用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵的能力，涉及行交换、行倍乘、行相加等操作。

解题核心思路：

1. 确定主元位置：由于第一列全为0，主元从第二列开始选取。
2. 化简主元列：通过行变换使主元为1，所在列其他元素为0。
3. 逐层推进：依次处理后续列，最终形成阶梯形结构。

破题关键点：

• 优先处理第二列：通过行交换和行相减，使第二列第一个非零元素为1。
• 消去下方元素：利用主元行消去下方同列元素，形成阶梯形。
• 处理自由变量列：对最后一列进行归一化和消元，确保行最简形结构。

初始矩阵

$\begin{pmatrix}0 & 2 & -3 & 1 \\0 & 3 & -4 & 3 \\0 & 4 & -7 & -1\end{pmatrix}$

步骤1：构造第二列主元

1. 行相减：$r_2 - r_1$，第二行变为：
   $0 \quad 1 \quad -1 \quad 2$
2. 行交换：交换$r_1$和$r_2$，矩阵变为：
   $\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & 4 & -7 & -1 \end{pmatrix}$

步骤2：消去第二列下方元素

1. 消去$r_2$第二列：$r_2 - 2r_1$，第二行变为：
   $0 \quad 0 \quad -1 \quad -3$
2. 消去$r_3$第二列：$r_3 - 4r_1$，第三行变为：
   $0 \quad 0 \quad -3 \quad -9$

步骤3：处理第三列主元

1. 归一化主元：$r_2 \times (-1)$，第二行变为：
   $0 \quad 0 \quad 1 \quad 3$
2. 消去$r_3$第三列：$r_3 + 3r_2$，第三行变为：
   $0 \quad 0 \quad 0 \quad 0$
3. 更新$r_1$第三列：$r_1 + r_2$，第一行变为：
   $0 \quad 1 \quad 0 \quad 5$

最终行最简形矩阵：
$\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 5 \\0 & 0 & 1 & 3 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$