题目
设函数y=f(x)由方程e^2x+y-cos(xy)=e-1所确定，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为______．
设函数$$y=f(x)$$由方程$$e^{2x+y}-cos(xy)=e-1$$所确定，则曲线$$y=f(x)$$在点$$(0,1)$$处的法线方程为______．
题目解答
答案
$$x-2y+2=0$$
解析
步骤 1：求导数
首先，对给定的方程$$e^{2x+y}-cos(xy)=e-1$$两边同时对$$x$$求导，得到$$y$$关于$$x$$的导数$$y'$$。利用隐函数求导法则，我们有：
$$\frac{d}{dx}(e^{2x+y})-\frac{d}{dx}(cos(xy))=0$$
$$e^{2x+y}(2+y')-(-sin(xy))(y+xy')=0$$
步骤 2：求导数在点$$(0,1)$$的值
将点$$(0,1)$$代入上述导数表达式中，求出$$y'$$在该点的值。代入$$x=0$$和$$y=1$$，得到：
$$e^{2*0+1}(2+y')-(-sin(0*1))(1+0*y')=0$$
$$e(2+y')=0$$
$$2+y'=0$$
$$y'=-2$$
步骤 3：求法线方程
已知点$$(0,1)$$和斜率$$y'=-2$$，法线的斜率是导数斜率的负倒数，即$$\frac{1}{2}$$。利用点斜式方程$$y-y_1=m(x-x_1)$$，代入点$$(0,1)$$和斜率$$\frac{1}{2}$$，得到法线方程：
$$y-1=\frac{1}{2}(x-0)$$
$$2y-2=x$$
$$x-2y+2=0$$
首先，对给定的方程$$e^{2x+y}-cos(xy)=e-1$$两边同时对$$x$$求导，得到$$y$$关于$$x$$的导数$$y'$$。利用隐函数求导法则，我们有：
$$\frac{d}{dx}(e^{2x+y})-\frac{d}{dx}(cos(xy))=0$$
$$e^{2x+y}(2+y')-(-sin(xy))(y+xy')=0$$
步骤 2：求导数在点$$(0,1)$$的值
将点$$(0,1)$$代入上述导数表达式中，求出$$y'$$在该点的值。代入$$x=0$$和$$y=1$$，得到：
$$e^{2*0+1}(2+y')-(-sin(0*1))(1+0*y')=0$$
$$e(2+y')=0$$
$$2+y'=0$$
$$y'=-2$$
步骤 3：求法线方程
已知点$$(0,1)$$和斜率$$y'=-2$$，法线的斜率是导数斜率的负倒数，即$$\frac{1}{2}$$。利用点斜式方程$$y-y_1=m(x-x_1)$$，代入点$$(0,1)$$和斜率$$\frac{1}{2}$$，得到法线方程：
$$y-1=\frac{1}{2}(x-0)$$
$$2y-2=x$$
$$x-2y+2=0$$