题目
5/6 填空客观题（自动批阅）设A=}1&x&5&62&x&-1&22&x&9&-73&x&0&1=
5/6 填空客观题（自动批阅）
设$A=\begin{pmatrix}1&x&5&6\\2&x&-1&2\\2&x&9&-7\\3&x&0&1\end{pmatrix}$.如果$A_{ij}$是A的(i,j)-元的代数余子式，那么$A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}=$
题目解答
答案
为了找到 $ A_{14} + A_{24} + A_{34} + A_{44} $ 的值，其中 $ A_{ij} $ 是矩阵 $ A $ 的 $(i,j)$-元的代数余子式，我们首先需要回忆代数余子式的定义。一个矩阵 $ A $ 的 $(i,j)$-元的代数余子式 $ A_{ij} $ 由下式给出：
\[ A_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij}) \]
其中 $ M_{ij} $ 是 $ A $ 的 $(i,j)$-余子式，即从 $ A $ 中删除第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后得到的子矩阵。
我们需要找到 $ A_{14} $， $ A_{24} $， $ A_{34} $，和 $ A_{44} $ 的代数余子式。这些是矩阵 $ A $ 的第4列的元素的代数余子式。根据代数余子式的定义，我们有：
\[ A_{14} = (-1)^{1+4} \det(M_{14}) = -\det(M_{14}) \]
\[ A_{24} = (-1)^{2+4} \det(M_{24}) = \det(M_{24}) \]
\[ A_{34} = (-1)^{3+4} \det(M_{34}) = -\det(M_{34}) \]
\[ A_{44} = (-1)^{4+4} \det(M_{44}) = \det(M_{44}) \]
因此，我们需要找到子矩阵 $ M_{14} $， $ M_{24} $， $ M_{34} $，和 $ M_{44} $ 的行列式。
子矩阵 $ M_{14} $ 是：
\[ M_{14} = \begin{pmatrix} 2 & x & -1 \\ 2 & x & 9 \\ 3 & x & 0 \end{pmatrix} \]
子矩阵 $ M_{24} $ 是：
\[ M_{24} = \begin{pmatrix} 1 & x & 5 \\ 2 & x & 9 \\ 3 & x & 0 \end{pmatrix} \]
子矩阵 $ M_{34} $ 是：
\[ M_{34} = \begin{pmatrix} 1 & x & 5 \\ 2 & x & -1 \\ 3 & x & 0 \end{pmatrix} \]
子矩阵 $ M_{44} $ 是：
\[ M_{44} = \begin{pmatrix} 1 & x & 5 \\ 2 & x & -1 \\ 2 & x & 9 \end{pmatrix} \]
现在，我们计算这些子矩阵的行列式。
$ M_{14} $ 的行列式是：
\[ \det(M_{14}) = 2 \begin{vmatrix} x & 9 \\ x & 0 \end{vmatrix} - x \begin{vmatrix} 2 & 9 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 2 & x \\ 3 & x \end{vmatrix} = 2(0 - 9x) - x(0 - 27) - (2x - 3x) = -18x + 27x + x = 10x \]
$ M_{24} $ 的行列式是：
\[ \det(M_{24}) = 1 \begin{vmatrix} x & 9 \\ x & 0 \end{vmatrix} - x \begin{vmatrix} 2 & 9 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 2 & x \\ 3 & x \end{vmatrix} = 1(0 - 9x) - x(0 - 27) + 5(2x - 3x) = -9x + 27x - 5x = 13x \]
$ M_{34} $ 的行列式是：
\[ \det(M_{34}) = 1 \begin{vmatrix} x & -1 \\ x & 0 \end{vmatrix} - x \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 2 & x \\ 3 & x \end{vmatrix} = 1(0 + x) - x(0 + 3) + 5(2x - 3x) = x - 3x - 5x = -7x \]
$ M_{44} $ 的行列式是：
\[ \det(M_{44}) = 1 \begin{vmatrix} x & -1 \\ x & 9 \end{vmatrix} - x \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 9 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 2 & x \\ 2 & x \end{vmatrix} = 1(9x + x) - x(18 + 2) + 5(2x - 2x) = 10x - 20x + 0 = -10x \]
现在，我们可以找到 $ A_{14} + A_{24} + A_{34} + A_{44} $ 的值：
\[ A_{14} + A_{24} + A_{34} + A_{44} = -\det(M_{14}) + \det(M_{24}) - \det(M_{34}) + \det(M_{44}) = -10x + 13x + 7x - 10x = 0 \]
因此，值是：
\[ \boxed{0} \]
解析
本题主要考察代数余子式的定义及行列式的计算。核心思路是利用代数余子式的性质，通过构造辅助矩阵简化计算，避免直接计算每个代数余子式的行列式。
关键知识点回顾
- 代数余子式定义：矩阵$A$的$(i,j)$-元代数余子式$A_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij})$，其中$M_{ij}$是删除第$i$行第$j$列后的子矩阵。
- 行列式按列展开性质：矩阵$A$的行列式等于某一列元素与对应代数余子式的乘积之和，即$\det(A)=\sum_{i=1}^4a_{i4}A_{i4}$。
- 辅助矩阵构造：若构造矩阵$B$，使其第4列全为1，其余列与$A$相同，则$\det(B)=\sum_{i=1}^41\cdot A_{i4}$，恰好等于所求的$A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}$。
具体计算步骤
1. 构造辅助矩阵$B$
矩阵$A$的第4列元素为$[6,2,-7,1]^T$，构造$B$如下：
$B=\begin{pmatrix}1&x&5&1\\2&x&-1&1\\2&x&9&1\\3&x&0&1\end{pmatrix}$
2. 计算$\det(B)$（利用行列式性质化简）
对$B$作列变换：第2列减去$\frac{x}{1}$倍的第1列（不改变行列式值），第3列减去$5$倍的第1列，得：
$B\sim\begin{pmatrix}1&0&0&1\\2&0&-11&1\\2&0&-1&1\\3&0&-15&1\end{pmatrix}$
此时矩阵按第2列展开，仅剩一个非零元素$1$，其代数余子式为：
$(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}0&-11&1\\0&-1&1\\0&-15&1\end{pmatrix}$
该子矩阵第1列全为0，行列式为$0$，故$\det(B)=0$。
结论
$A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}=\det(B)=0$。