题目
设 f(z)= cos z，则下列命题中，不正确的是()A. f(z) 在复平面上处处解析B. f(z) 以 2pi 为周期C. f(z)= (e^iz - e^-iz)/(2i)D. |f(z)| 是无界的
设 $f(z)= \cos z$，则下列命题中，不正确的是()
A. $f(z)$ 在复平面上处处解析
B. $f(z)$ 以 $2\pi$ 为周期
C. $f(z)= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$
D. $|f(z)|$ 是无界的
题目解答
答案
C. $f(z)= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$
解析
步骤 1：分析选项 A
函数 $f(z) = \cos z$ 是一个整函数，意味着它在复平面上处处解析。这是余弦函数的一个众所周知的性质。因此，选项 A 是正确的。
步骤 2：分析选项 B
余弦函数的周期为 $2\pi$，这意味着对于所有 $z$，有 $\cos(z + 2\pi) = \cos z$。这是余弦函数的一个基本性质。因此，选项 B 是正确的。
步骤 3：分析选项 C
余弦函数的指数形式由 $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ 给出。选项 C 中的表达式实际上是正弦函数的指数形式，即 $\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$。因此，选项 C 是不正确的。
步骤 4：分析选项 D
为了确定 $|f(z)|$ 是否无界，考虑 $z = x + iy$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数。那么， \[ \cos z = \cos(x + iy) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y. \] 这个复数的模长为 \[ |\cos z| = \sqrt{(\cos x \cosh y)^2 + (-\sin x \sinh y)^2} = \sqrt{\cos^2 x \cosh^2 y + \sin^2 x \sinh^2 y}. \] 由于 $\cosh y$ 和 $\sinh y$ 随着 $|y|$ 的增加而指数增长，$|\cos z|$ 可以变得任意大。因此，$|f(z)|$ 是无界的。所以，选项 D 是正确的。
函数 $f(z) = \cos z$ 是一个整函数，意味着它在复平面上处处解析。这是余弦函数的一个众所周知的性质。因此，选项 A 是正确的。
步骤 2：分析选项 B
余弦函数的周期为 $2\pi$，这意味着对于所有 $z$，有 $\cos(z + 2\pi) = \cos z$。这是余弦函数的一个基本性质。因此，选项 B 是正确的。
步骤 3：分析选项 C
余弦函数的指数形式由 $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ 给出。选项 C 中的表达式实际上是正弦函数的指数形式，即 $\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$。因此，选项 C 是不正确的。
步骤 4：分析选项 D
为了确定 $|f(z)|$ 是否无界，考虑 $z = x + iy$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数。那么， \[ \cos z = \cos(x + iy) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y. \] 这个复数的模长为 \[ |\cos z| = \sqrt{(\cos x \cosh y)^2 + (-\sin x \sinh y)^2} = \sqrt{\cos^2 x \cosh^2 y + \sin^2 x \sinh^2 y}. \] 由于 $\cosh y$ 和 $\sinh y$ 随着 $|y|$ 的增加而指数增长，$|\cos z|$ 可以变得任意大。因此，$|f(z)|$ 是无界的。所以，选项 D 是正确的。