题目
2.已知A是四阶方阵，其伴随矩阵A^*的特征值是1,2,4,8，则 | ((1)/(3)A)^-1 | =_cdot
2.已知A是四阶方阵，其伴随矩阵$A^{*}$的特征值是1,2,4,8，则$\left | (\frac{1}{3}A)^{-1} \right | =\_\cdot$
题目解答
答案
已知四阶方阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的特征值为1, 2, 4, 8，其行列式为：
\[
|A^*| = 1 \times 2 \times 4 \times 8 = 64
\]
由 $|A^*| = |A|^{n-1}$（其中 $n=4$），得：
\[
|A|^3 = 64 \implies |A| = 4
\]
计算 $\left| \left( \frac{1}{3}A \right)^{-1} \right|$：
\[
\left| \left( \frac{1}{3}A \right)^{-1} \right| = \left| \frac{1}{3}A \right|^{-1} = \left[ \left( \frac{1}{3} \right)^4 |A| \right]^{-1} = \left( \frac{4}{81} \right)^{-1} = \frac{81}{4}
\]
答案：$\boxed{\frac{81}{4}}$