题目
计算sqrt (sin x)cos x
计算
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换积分表达式
原积分表达式为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x \cos x} dx$。为了简化计算，我们首先考虑将 $\sqrt{\sin x \cos x}$ 转换为更易于处理的形式。注意到 $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$，因此原积分可以写为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} \sin 2x} dx$。
步骤 2：代换
令 $u = 2x$，则 $du = 2dx$，且当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x = \frac{\pi}{2}$ 时，$u = \pi$。因此，原积分可以写为 $\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{1}{2} \sin u} du$。
步骤 3：计算积分
注意到 $\sqrt{\frac{1}{2} \sin u}$ 可以写为 $\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\sin u}$，因此原积分可以写为 $\frac{1}{2\sqrt{2}} \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin u} du$。这个积分是一个标准的积分，其结果为 $\frac{1}{2\sqrt{2}} \times 2 \times \frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(2)}$，其中 $\Gamma$ 是伽马函数。由于 $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$，$\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$，$\Gamma(2) = 1$，因此原积分的结果为 $\frac{1}{2\sqrt{2}} \times 2 \times \frac{\sqrt{\pi} \times \frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{1} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$。
原积分表达式为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x \cos x} dx$。为了简化计算，我们首先考虑将 $\sqrt{\sin x \cos x}$ 转换为更易于处理的形式。注意到 $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$，因此原积分可以写为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} \sin 2x} dx$。
步骤 2：代换
令 $u = 2x$，则 $du = 2dx$，且当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x = \frac{\pi}{2}$ 时，$u = \pi$。因此，原积分可以写为 $\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{1}{2} \sin u} du$。
步骤 3：计算积分
注意到 $\sqrt{\frac{1}{2} \sin u}$ 可以写为 $\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\sin u}$，因此原积分可以写为 $\frac{1}{2\sqrt{2}} \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin u} du$。这个积分是一个标准的积分，其结果为 $\frac{1}{2\sqrt{2}} \times 2 \times \frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(2)}$，其中 $\Gamma$ 是伽马函数。由于 $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$，$\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$，$\Gamma(2) = 1$，因此原积分的结果为 $\frac{1}{2\sqrt{2}} \times 2 \times \frac{\sqrt{\pi} \times \frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{1} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$。