题目
3.[ ]一金属球壳的内外半径分别为R1和R2,其中心放一点电荷q,则金属球-|||-壳的电势为:-|||-A. dfrac (q)(4pi {varepsilon )_(0)(R)_(1)}: B. dfrac (q)(4pi {varepsilon )_(0)(R)_(2)}; C. dfrac (q)(8pi {varepsilon )_(0)}(dfrac (1)({R)_(1)}+dfrac (1)({R)_(2)}); D. dfrac (q)(2pi {varepsilon )_(0)((R)_(1)+(R)_(2))}
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析金属球壳的电荷分布
金属球壳的内表面会感应出与中心点电荷q等量的负电荷，即$-q$，而外表面会感应出等量的正电荷，即$+q$。这是因为金属球壳是导体，内部电场为零，电荷会重新分布以抵消内部电场。
步骤 2：计算球壳外的电场强度
根据高斯定理，球壳外的电场强度为$\overrightarrow {E}=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}\overrightarrow {{r}_{0}}$，其中$r$是到球心的距离，$\overrightarrow {{r}_{0}}$是径向单位矢量。方向沿半径向外。
步骤 3：计算球壳的电势
球壳的电势$U$可以通过积分电场强度得到，即$U=\int \overrightarrow {E}\cdot d\overrightarrow {r}$。取沿半径向外的路径为积分路径，积分从球壳外表面到无穷远处，即$U={\int }_{R_2}^{\infty}E\cdot d\overrightarrow {r}={\int }_{R_2}^{\infty}\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}dr$。计算得$U=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{2}}$。
金属球壳的内表面会感应出与中心点电荷q等量的负电荷，即$-q$，而外表面会感应出等量的正电荷，即$+q$。这是因为金属球壳是导体，内部电场为零，电荷会重新分布以抵消内部电场。
步骤 2：计算球壳外的电场强度
根据高斯定理，球壳外的电场强度为$\overrightarrow {E}=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}\overrightarrow {{r}_{0}}$，其中$r$是到球心的距离，$\overrightarrow {{r}_{0}}$是径向单位矢量。方向沿半径向外。
步骤 3：计算球壳的电势
球壳的电势$U$可以通过积分电场强度得到，即$U=\int \overrightarrow {E}\cdot d\overrightarrow {r}$。取沿半径向外的路径为积分路径，积分从球壳外表面到无穷远处，即$U={\int }_{R_2}^{\infty}E\cdot d\overrightarrow {r}={\int }_{R_2}^{\infty}\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}dr$。计算得$U=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{2}}$。