__-|||-51.某文物于1972年8月发掘出土,经研究测算该文物出土时^14C(放射性同位素碳 -14) )-|||-标本存量为初始量R0的0.7761倍.已知的衰变速度与它的现存量成正比,且它的半衰期-|||-(由初始量R0衰变至 dfrac ({R)_(0)}(2) 所需要的时间)为5730年.-|||-(1)试求^14C的现存量与时间t(年)的函数关系(其中涉及的对数不必写出具体数值).-|||-(2)计算该文物至1972年8月大约经历了多少年,能否认为该文物为西汉时期(公元前-|||-202年~公元8年)的作品并说明理由(计算结果取整数; ln 2approx 0.6931 ,ln 0.7761approx -|||--0.2535 ).

考查要点：本题主要考查放射性物质的指数衰变模型及其应用，涉及微分方程的建立与求解、半衰期概念的理解，以及对数运算的实际应用。

解题核心思路：

1. 建立衰变模型：根据题意，放射性同位素碳-14的衰变速度与现存量成正比，可建立微分方程并求解得到指数函数形式。
2. 确定衰变常数：利用半衰期的定义（5730年）求出衰变常数。
3. 计算文物年龄：将出土时的存量代入模型，通过解指数方程求出时间，结合历史时间轴判断文物所属时期。

破题关键点：

• 微分方程的求解：正确建立并求解微分方程是得到函数关系的关键。
• 半衰期公式的应用：通过半衰期定义确定衰变常数。
• 对数运算的灵活使用：利用对数将指数方程转化为线性方程求解时间。

第（1）题

建立微分方程

根据题意，衰变速度与现存量成正比，即：
$\frac{dR}{dt} = -kR \quad (k > 0)$

求解微分方程

分离变量并积分：
$\int \frac{1}{R} dR = -k \int dt \implies \ln R = -kt + C$
整理得指数函数形式：
$R(t) = R_0 e^{-kt}$

确定衰变常数

利用半衰期条件：当 $t = 5730$ 年时，$R = \frac{R_0}{2}$，代入得：
$\frac{1}{2} = e^{-k \cdot 5730} \implies k = \frac{\ln 2}{5730}$

最终函数关系

将 $k$ 代入指数函数：
$R(t) = R_0 e^{-\frac{\ln 2}{5730} t}$

第（2）题

建立方程

已知出土时 $R(t) = 0.7761 R_0$，代入函数关系：
$0.7761 R_0 = R_0 e^{-\frac{\ln 2}{5730} t}$

解指数方程

两边取自然对数：
$\ln 0.7761 = -\frac{\ln 2}{5730} t \implies t = \frac{5730 \cdot \ln 0.7761}{-\ln 2}$

代入数据计算

根据题目给定 $\ln 0.7761 \approx -0.2535$，$\ln 2 \approx 0.6931$：
$t = \frac{5730 \cdot (-0.2535)}{-0.6931} \approx 2096 \text{年}$

时间判断

1972年减去文物年龄：
$1972 - 2096 \approx -124 \text{年}$
对应时间为公元前124年，属于西汉时期（公元前202年~公元8年）。