题目
函数(x)=(2x-5)(x)^dfrac (2{3)} -1leqslant xleqslant 3的最大值为(x)=(2x-5)(x)^dfrac (2{3)} -1leqslant xleqslant 3，最小值-7. （ ）错对
函数
的最大值为
，最小值-7. （ ）
- 错
- 对
题目解答
答案
∵f(x)的定义域为R
又∵
∴当
或
时，
∴f(x)的增区间为
当
时，
∴
的减区间为
当x=0时，函数取极大值f(0)=0,
当x=1时，函数取得极小值f(1)=-3.
又∵f(-1)=-7<-3,f(3)=>0
∴f(x)的最大值为，最小值为-7
故答案选：B.对
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数$f(x)=(2x-5){x}^{\dfrac {2}{3}}$的导数$f'(x)$。使用乘积法则和幂函数的导数规则，我们得到：
$$f'(x)=2{x}^{\dfrac {2}{3}}+(2x-5)\dfrac {2}{3}{x}^{-\dfrac {1}{3}}=\dfrac {10(x-1)}{3\sqrt [3]{x}}$$
步骤 2：确定单调区间
根据导数$f'(x)$的符号，我们可以确定函数$f(x)$的单调区间。当$-1\leqslant x\lt 0$或$1\lt x\leqslant 3$时，$f'(x)\gt 0$，因此$f(x)$在这些区间上是增函数。当$0\lt x\lt 1$时，$f'(x)\lt 0$，因此$f(x)$在这些区间上是减函数。
步骤 3：求极值和端点值
根据单调区间，我们可以确定函数$f(x)$的极值。当$x=0$时，函数取极大值$f(0)=0$；当$x=1$时，函数取得极小值$f(1)=-3$。同时，我们还需要计算端点值$f(-1)$和$f(3)$，以确定函数的最大值和最小值。计算得到$f(-1)=-7$，$f(3)=1$。
步骤 4：确定最大值和最小值
根据极值和端点值，我们可以确定函数$f(x)$的最大值和最小值。由于$f(-1)=-7$是最小的值，因此函数的最小值为-7。由于$f(3)=1$是最大的值，因此函数的最大值为1。
首先，我们需要求出函数$f(x)=(2x-5){x}^{\dfrac {2}{3}}$的导数$f'(x)$。使用乘积法则和幂函数的导数规则，我们得到：
$$f'(x)=2{x}^{\dfrac {2}{3}}+(2x-5)\dfrac {2}{3}{x}^{-\dfrac {1}{3}}=\dfrac {10(x-1)}{3\sqrt [3]{x}}$$
步骤 2：确定单调区间
根据导数$f'(x)$的符号，我们可以确定函数$f(x)$的单调区间。当$-1\leqslant x\lt 0$或$1\lt x\leqslant 3$时，$f'(x)\gt 0$，因此$f(x)$在这些区间上是增函数。当$0\lt x\lt 1$时，$f'(x)\lt 0$，因此$f(x)$在这些区间上是减函数。
步骤 3：求极值和端点值
根据单调区间，我们可以确定函数$f(x)$的极值。当$x=0$时，函数取极大值$f(0)=0$；当$x=1$时，函数取得极小值$f(1)=-3$。同时，我们还需要计算端点值$f(-1)$和$f(3)$，以确定函数的最大值和最小值。计算得到$f(-1)=-7$，$f(3)=1$。
步骤 4：确定最大值和最小值
根据极值和端点值，我们可以确定函数$f(x)$的最大值和最小值。由于$f(-1)=-7$是最小的值，因此函数的最小值为-7。由于$f(3)=1$是最大的值，因此函数的最大值为1。