27. (2.0分) A为n阶可逆矩阵，则A^*也是可逆矩阵。()A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质以及矩阵可逆的条件。

解题核心思路：

1. 伴随矩阵与原矩阵的关系：利用公式 $A A^{*} = |A|I$，结合已知条件 $A$ 可逆（即 $|A| \neq 0$），推导 $A^{*}$ 的可逆性。
2. 行列式的性质：通过计算 $A^{*}$ 的行列式 $|A^{*}| = |A|^{n-1}$，判断其是否为非零值，从而确定 $A^{*}$ 是否可逆。

破题关键点：

• 关键公式：$A A^{*} = |A|I$ 和 $|A^{*}| = |A|^{n-1}$。
• 逻辑链：由 $A$ 可逆 $\Rightarrow |A| \neq 0$ $\Rightarrow |A^{*}| \neq 0$ $\Rightarrow A^{*}$ 可逆。

步骤1：利用伴随矩阵的定义式
已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A A^{*} = |A|I$。由于 $A$ 可逆，$|A| \neq 0$，因此等式右边为非零标量矩阵。

步骤2：计算 $A^{*}$ 的行列式
对等式 $A A^{*} = |A|I$ 两边取行列式：
$|A| \cdot |A^{*}| = | |A|I | = |A|^{n}.$
两边同时除以 $|A|$（因 $|A| \neq 0$），得：
$|A^{*}| = |A|^{n-1}.$

步骤3：判断 $A^{*}$ 的可逆性
因为 $A$ 可逆，$|A| \neq 0$，所以 $|A|^{n-1} \neq 0$，即 $|A^{*}| \neq 0$。根据矩阵可逆的条件，行列式非零的矩阵必可逆，因此 $A^{*}$ 是可逆矩阵。