【例2】(2021年下半年-高级中学-选择题)lim_(ntoinfty)(2n+1)^2sin(1)/(2n^2)的值是( )。A. 略B. 1C. 2D. ∞

本题考查极限的计算，核心是利用等价无穷小替换简化极限运算。

步骤1：分析极限形式

题目为$\lim_{n\to\infty}(2n+1)^{2}\sin\frac{1}{2n^{2}}$，当$n\to\infty$时，$\frac{1}{2n^2}\to0$，属于“无穷小量乘以有界函数”的极限类型（$\sin x$在$x\to0$时是有界函数，且有等价无穷小$\sin x\sim x$）。

步骤2：等价无穷小替换

当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}{2n^2}\to0$，故$\sin\frac{1}{2n^2}\sim\frac{1}{2n^2}$，代入原式得：
$\lim_{n\to\infty}(2n+1)^{2}\cdot\frac{1}{2n^2}$

步骤3：展开并化简

展开$(2n+1)^2=4n^2+4n+1$，则：
$\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2+4n+1}{2n^2}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4n^2}{2n^2}+\frac{4n}{2n^2}+\frac{1}{2n^2}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{2}{n}+\frac{1}{2n^2}\right)$

步骤4：计算极限

当$n\to\infty$时，$\frac{2}{n}\to0$，$\frac{1}{2n^2}\to0$，故极限值为$2+0+0=2$。