题目
测量至某一目标的距离时发生的随机误差 ( ) 的概率密度为，求：三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过的概率。
测量至某一目标的距离时发生的随机误差 
( 
) 的概率密度为
，求：三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过
的概率。
题目解答
答案
记
为三次测量中误差的绝对值超过的次数，则
，其中
为“一次测量中误差的绝对值不超过的概率”，由可知
可知，
，
所以三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过的概率为
。
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
由题目给出的概率密度函数$f(x)=\dfrac {1}{20\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-10)}^{2}}{300}}$，可以确定随机变量$X$服从正态分布$N(10, 20^2)$，其中均值$\mu = 10$，方差$\sigma^2 = 20^2$。
步骤 2：计算误差绝对值不超过20m的概率
误差的绝对值不超过20m，即$-20 \leq x \leq 20$。根据正态分布的性质，可以将这个区间转换为标准正态分布的区间，即$P(-20 \leq x \leq 20) = P\left(\dfrac{-20-10}{20} \leq \dfrac{x-10}{20} \leq \dfrac{20-10}{20}\right) = P(-1.5 \leq Z \leq 0.5)$，其中$Z$是标准正态分布的随机变量。利用标准正态分布表，可以查得$P(-1.5 \leq Z \leq 0.5) = \Phi(0.5) - \Phi(-1.5) = \Phi(0.5) - (1 - \Phi(1.5)) = 0.6915 - (1 - 0.9332) = 0.6247$。
步骤 3：计算三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过20m的概率
设$Y$为三次测量中误差的绝对值不超过20m的次数，则$Y$服从二项分布$B(3, p)$，其中$p = 0.6247$。三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过20m的概率为$P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - (1 - p)^3 = 1 - (1 - 0.6247)^3 = 1 - 0.3753^3 = 0.9471$。
由题目给出的概率密度函数$f(x)=\dfrac {1}{20\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-10)}^{2}}{300}}$，可以确定随机变量$X$服从正态分布$N(10, 20^2)$，其中均值$\mu = 10$，方差$\sigma^2 = 20^2$。
步骤 2：计算误差绝对值不超过20m的概率
误差的绝对值不超过20m，即$-20 \leq x \leq 20$。根据正态分布的性质，可以将这个区间转换为标准正态分布的区间，即$P(-20 \leq x \leq 20) = P\left(\dfrac{-20-10}{20} \leq \dfrac{x-10}{20} \leq \dfrac{20-10}{20}\right) = P(-1.5 \leq Z \leq 0.5)$，其中$Z$是标准正态分布的随机变量。利用标准正态分布表，可以查得$P(-1.5 \leq Z \leq 0.5) = \Phi(0.5) - \Phi(-1.5) = \Phi(0.5) - (1 - \Phi(1.5)) = 0.6915 - (1 - 0.9332) = 0.6247$。
步骤 3：计算三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过20m的概率
设$Y$为三次测量中误差的绝对值不超过20m的次数，则$Y$服从二项分布$B(3, p)$，其中$p = 0.6247$。三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过20m的概率为$P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - (1 - p)^3 = 1 - (1 - 0.6247)^3 = 1 - 0.3753^3 = 0.9471$。