3.对任意的n阶矩阵A，证明AA'为对称矩阵.
题目解答
答案
设 $ A $ 为 $ n $ 阶矩阵，其转置为 $ A^T $。根据矩阵转置性质，有
$(AA^T)^T = (A^T)^T A^T = A A^T$
其中，$(A^T)^T = A$。因此，$ AA^T $ 等于其转置，满足对称矩阵定义。
或者，从元素角度，设 $ A = (a_{ij}) $，则
$(AA^T)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} a_{jk} = (AA^T)_{ji}$
表明 $ AA^T $ 的元素关于主对角线对称，故为对称矩阵。
结论：
对于任意 $ n $ 阶矩阵 $ A $，$ AA^T $ 均为对称矩阵。
$\boxed{AA^T \text{ 是对称矩阵}}$
解析
本题考查对称矩阵的定义以及矩阵转置的性质。解题思路是根据对称矩阵的定义，即一个矩阵$B$为对称矩阵当且仅当$B^T = B$，来证明$AA^T$满足这一条件。我们可以从矩阵转置的性质和矩阵元素的角度分别进行证明。
方法一：利用矩阵转置的性质
设$A$为$n$阶矩阵，其转置为$A^T$。
根据矩阵转置的性质：$(AB)^T = B^T A^T$，对于$AA^T$，有$(AA^T)^T$。
将$A$看作$AB$中的$A$，$A^T$看作$AB$中的$B$，则$(AA^T)^T=(A^T)^T A^T$。
又因为矩阵转置的性质$(A^T)^T = A$，所以$(A^T)^T A^T = A A^T$。
即$(AA^T)^T = AA^T$，满足对称矩阵的定义，所以$AA^T$为对称矩阵。
方法二：从矩阵元素的角度
设$A = (a_{ij})$，其中$i,j = 1,2,\cdots,n$，$A^T=(a_{ji})$。
根据矩阵乘法的定义，$(AA^T)_{ij}$表示$AA^T$矩阵中第$i$行第$j$列的元素，其计算公式为$(AA^T)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} a_{jk}$。
而$(AA^T)_{ji}$表示$AA^T$矩阵中第$j$行第$i$列的元素，其计算公式为$(AA^T)_{ji} = \sum_{k=1}^n a_{jk} a_{ik}$。
由于乘法满足交换律，即$a_{ik} a_{jk}=a_{jk} a_{ik}$，所以$\sum_{k=1}^n a_{ik} a_{jk} = \sum_{k=1}^n a_{jk} a_{ik}$，也就是$(AA^T)_{ij} = (AA^T)_{ji}$。
这表明$AA^T$的元素关于主对角线对称，根据对称矩阵的定义，$AA^T$为对称矩阵。