3.解答题(17)求函数f(x,y)=(2x^2-y^2)e^x的极值.

求函数 $ f(x, y) = (2x^2 - y^2)e^x $ 的极值。

1. 求偏导数：
   $f_x = (2x^2 + 4x - y^2)e^x, \quad f_y = -2ye^x$
2. 找驻点：
   令 $ f_x = 0 $ 和 $ f_y = 0 $，得 $ y = 0 $，$ x = 0 $ 或 $ x = -2 $。
   驻点为 $ (0, 0) $ 和 $ (-2, 0) $。
3. 二阶导数测试：
   $f_{xx} = (2x^2 + 8x + 4 - y^2)e^x, \quad f_{xy} = -2ye^x, \quad f_{yy} = -2e^x$
   • 点 $ (0, 0) $：
     $ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 4 \times (-2) - 0 = -8 < 0 $，为鞍点。
   • 点 $ (-2, 0) $：
     $ D = (-4e^{-2}) \times (-2e^{-2}) - 0 = 8e^{-4} > 0 $，且 $ f_{xx} < 0 $，为极大值。
4. 计算极值：
   $ f(-2, 0) = 8e^{-2} = \frac{8}{e^2} $。

结论：函数的极大值为 $ \boxed{\frac{8}{e^2}} $，在点 $ (-2, 0) $ 处取得。