题目

设三阶实对称矩阵的特征值为_(1)=(lambda )_(2)=3，_(1)=(lambda )_(2)=3，向量_(1)=(lambda )_(2)=3都是_(1)=(lambda )_(2)=3的对应于3的特征向量，则_(1)=(lambda )_(2)=3对应于_(1)=(lambda )_(2)=3的特征向量_(1)=(lambda )_(2)=3是( )。A._(1)=(lambda )_(2)=3B._(1)=(lambda )_(2)=3C._(1)=(lambda )_(2)=3D._(1)=(lambda )_(2)=3

设三阶实对称矩阵的特征值为 $\lambda_1=\lambda_2=3$ ， $\lambda_3=4$ ，向量 $x_1=\begin{pmatrix} -1 \newline 1\\ 1 \end{pmatrix},x_2=\begin{pmatrix} 0\newline 3\\ 3 \end{pmatrix}$ 都是 $A$ 的对应于3的特征向量，则 $A$ 对应于 $\lambda_3=4$ 的特征向量 $x_3$ 是( )。

A. $\begin{pmatrix} 0\newline 2\\ -2 \end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix} 0\newline -2\\ -2 \end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix} 0\newline 3\\ 3 \end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix} -1 \newline 1\\ 1 \end{pmatrix}$

题目解答

答案

∵ $x_1=\begin{pmatrix} -1 \newline 1\\ 1 \end{pmatrix},x_2=\begin{pmatrix} 0\newline 3\\ 3 \end{pmatrix}$ 都是 $A$ 的对应于3的特征向量

∴ $A$ 对应于 $\lambda_3=4$ 的特征向量 $x_3$ 与 $x_1=\begin{pmatrix} -1 \newline 1\\ 1 \end{pmatrix},x_2=\begin{pmatrix} 0\newline 3\\ 3 \end{pmatrix}$ 都正交，即内积为零

验证选项：

$\left[x_3,x_1\right]$

$=0\times\left(-1\right)+2\times1+\left(-2\right)\times1$

$=0+2+\left(-2\right)$

$=0$ ；

$\left[x_3,x_2\right]$

$=0\times0+2\times3+\left(-2\right)\times3$

$=0+6+\left(-6\right)$

$=0$ ；

故选项A满足条件。

故本题的答案是：A。

解析

步骤 1：确定特征向量的正交性
由于矩阵是实对称矩阵，其特征向量对于不同的特征值是正交的。因此，对应于特征值${\lambda }_{3}=4$的特征向量ε3必须与对应于特征值${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=3$的特征向量正交。

步骤 2：验证选项
我们需要验证每个选项中的向量是否与给定的特征向量正交。正交性可以通过计算内积来验证，如果内积为零，则两个向量正交。

步骤 3：计算内积
对于每个选项，计算其与给定特征向量的内积。如果内积为零，则该选项是正确答案。