设 A 为 m times n 矩阵，对线性方程组 Ax = b，下列结论正确的是( )。A. 若 R(A) B. 若 R(A) C. 若 R(A) = R(A, b) D. 若 R(A) = R(A, b)

本题考查线性方程组解的判定定理，解题的关键在于理解系数矩阵的秩 $R(A)$、增广矩阵的秩 $R(A,b)$ 以及未知数个数 $n$ 之间的关系对线性方程组解的影响。

选项A分析

若 $R(A) \lt m$，仅知道系数矩阵的秩小于行数，但不知道增广矩阵的秩 $R(A,b)$ 与 $R(A)$ 的关系。
根据线性方程组解的判定定理，当 $R(A) \neq R(A,b)$ 时，方程组无解；当 $R(A) = R(A,b)$ 时，还需进一步判断 $R(A)$ 与未知数个数 $n$ 的关系才能确定解的情况。
所以仅由 $R(A) \lt m$ 不能得出线性方程组有无穷多解，A选项错误。

选项B分析

若 $R(A) \lt n$，同样不知道增广矩阵的秩 $R(A,b)$ 与 $R(A)$ 的关系。
若 $R(A) \neq R(A,b)$，方程组无解；只有当 $R(A) = R(A,b)$ 时，才可能有无穷多解。
所以仅由 $R(A) \lt n$ 不能得出线性方程组有无穷多解，B选项错误。

选项C分析

若 $R(A) = R(A,b) \lt m$，虽然知道系数矩阵和增广矩阵的秩相等，但 $m$ 是矩阵的行数，与未知数个数 $n$ 并无直接关联。
要判断方程组解的情况，需要比较 $R(A)$ 与 $n$ 的大小。
所以仅由 $R(A) = R(A,b) \lt m$ 不能得出方程组必有无穷多解，C选项错误。

选项D分析

若 $R(A) = R(A,b) \lt n$，根据线性方程组解的判定定理：
当 $R(A) = R(A,b) = n$ 时，方程组有唯一解；当 $R(A) = R(A,b) \lt n$ 时，方程组有无穷多解。
所以当 $R(A) = R(A,b) \lt n$ 时，方程组有无穷多解，D选项正确。