(x)=dfrac (1)(3)(x)^3-(x)^2-8x+1的单调增加区间是( )(x)=dfrac (1)(3)(x)^3-(x)^2-8x+1(x)=dfrac (1)(3)(x)^3-(x)^2-8x+1(x)=dfrac (1)(3)(x)^3-(x)^2-8x+1(x)=dfrac (1)(3)(x)^3-(x)^2-8x+1

考查要点：本题主要考查利用导数确定函数的单调区间，属于导数应用的基础题型。

解题思路：

1. 求导：先对函数$f(x)$求导，得到$f'(x)$。
2. 求临界点：解方程$f'(x)=0$，找到导数为零的点，即函数的临界点。
3. 划分区间：根据临界点将定义域划分为若干区间。
4. 判断符号：在每个区间内取测试点，判断导数的符号，从而确定函数的单调性。
5. 确定区间端点：注意导数为零的点是否包含在单调区间内。

关键点：

• 导数的正负决定单调性：导数为正时函数递增，导数为负时函数递减。
• 临界点的包含性：若导数在临界点两侧符号改变，则该点属于相邻的单调区间。

步骤1：求导数
函数$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3 -x^2 -8x +1$的导数为：
$f'(x) = x^2 - 2x -8.$

步骤2：求导数的零点
解方程$f'(x)=0$：
$x^2 - 2x -8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0,$
解得$x = 4$和$x = -2$。

步骤3：划分区间并判断导数符号
临界点将数轴分为三个区间：

1. 当$x < -2$时，取测试点$x=-3$，代入$f'(x)$得：
   $f'(-3) = (-3)^2 - 2(-3) -8 = 9 +6 -8 = 7 > 0,$
   因此函数在$(-\infty, -2)$上单调递增。
2. 当$-2 < x < 4$时，取测试点$x=0$，代入$f'(x)$得：
   $f'(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 -8 = -8 < 0,$
   因此函数在$(-2, 4)$上单调递减。
3. 当$x > 4$时，取测试点$x=5$，代入$f'(x)$得：
   $f'(5) = 5^2 - 2 \cdot 5 -8 = 25 -10 -8 = 7 > 0,$
   因此函数在$(4, +\infty)$上单调递增。

步骤4：确定单调区间端点

• 在$x=-2$处，导数由正变负，函数在此处达到极大值，因此$x=-2$属于递增区间。
• 在$x=4$处，导数由负变正，函数在此处达到极小值，因此$x=4$属于递增区间。

综上，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty, -2] \cup [4, +\infty)$。