求int dfrac (4{x)^5-3(x)^4+3x}(1+{x)^2}dx

步骤 1：分解被积函数
首先，我们对被积函数$\dfrac {4{x}^{5}-3{x}^{4}+3x}{1+{x}^{2}}$进行分解，以便于积分。我们可以通过多项式除法或配方法来分解这个函数。这里，我们采用配方法，将分子分解为多项式与分母的乘积加上余项的形式。
步骤 2：配方法分解
我们有：
$\dfrac {4{x}^{5}-3{x}^{4}+3x}{1+{x}^{2}}=\dfrac {4{x}^{5}+4{x}^{3}-3{x}^{4}-3{x}^{2}-4{x}^{3}+3{x}^{2}+3{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$
$=\dfrac {4{x}^{3}(1+{x}^{2})-3{x}^{2}(1+{x}^{2})-4{x}^{3}-4x+3{x}^{2}+3+7x-3}{1+{x}^{2}}$
$=\dfrac {(4{x}^{3}-3{x}^{2}-4x+3)(1+{x}^{2})+7x-3}{1+{x}^{2}}$
$=4{x}^{3}-3{x}^{2}-4x+3+\dfrac {7x-3}{1+{x}^{2}}$
步骤 3：积分
现在，我们可以对分解后的函数进行积分。我们有：
$\int \dfrac {4{x}^{5}-3{x}^{4}+3x}{1+{x}^{2}}dx=\int (4{x}^{3}-3{x}^{2}-4x+3)dx+\int \dfrac {7x-3}{1+{x}^{2}}dx$
$=\int 4{x}^{3}dx-\int 3{x}^{2}dx-\int 4xdx+\int 3dx+\int \dfrac {7x}{1+{x}^{2}}dx-\int \dfrac {3}{1+{x}^{2}}dx$
$={x}^{4}-{x}^{3}-2{x}^{2}+3x+\dfrac {7}{2}\int \dfrac {d(1+{x}^{2})}{1+{x}^{2}}-3\arctan x$
$={x}^{4}-{x}^{3}-2{x}^{2}+3x+\dfrac {7}{2}\ln (1+{x}^{2})-3\arctan x+C$