题目
不定积分 int xe^x dx = ( )A. xe^x + x + CB. xe^x - x + CC. xe^x + e^x + CD. xe^x - e^x + C
不定积分 $\int xe^x dx = (\quad)$
A. $xe^x + x + C$
B. $xe^x - x + C$
C. $xe^x + e^x + C$
D. $xe^x - e^x + C$
题目解答
答案
D. $xe^x - e^x + C$
解析
步骤 1：选择 $u$ 和 $dv$
为了使用分部积分法，我们选择 $u = x$ 和 $dv = e^x \, dx$。这是因为 $x$ 的导数简单，而 $e^x$ 的积分也简单。
步骤 2：计算 $du$ 和 $v$
根据 $u = x$，我们有 $du = dx$。根据 $dv = e^x \, dx$，我们有 $v = \int e^x \, dx = e^x$。
步骤 3：应用分部积分法
将 $u$、$v$、$du$ 和 $dv$ 代入分部积分法的公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 中，我们得到： \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \]
步骤 4：计算 $\int e^x \, dx$
$\int e^x \, dx = e^x + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 5：代回并简化
将 $\int e^x \, dx = e^x + C$ 代回上式中，我们得到： \[ \int x e^x \, dx = x e^x - (e^x + C) = x e^x - e^x + C \]
为了使用分部积分法，我们选择 $u = x$ 和 $dv = e^x \, dx$。这是因为 $x$ 的导数简单，而 $e^x$ 的积分也简单。
步骤 2：计算 $du$ 和 $v$
根据 $u = x$，我们有 $du = dx$。根据 $dv = e^x \, dx$，我们有 $v = \int e^x \, dx = e^x$。
步骤 3：应用分部积分法
将 $u$、$v$、$du$ 和 $dv$ 代入分部积分法的公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 中，我们得到： \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \]
步骤 4：计算 $\int e^x \, dx$
$\int e^x \, dx = e^x + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 5：代回并简化
将 $\int e^x \, dx = e^x + C$ 代回上式中，我们得到： \[ \int x e^x \, dx = x e^x - (e^x + C) = x e^x - e^x + C \]