题目
设级数 sum_(n=1)^infty a_n 收敛，其和为 S，级数 sum_(n=1)^infty (a_n + a_(n+1) - a_(n+2)) 收敛于().A. S + a_1B. S + a_2C. S + a_1 - a_2D. S + a_2 - a_1
设级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，其和为 $S$，级数 $\sum_{n=1}^\infty (a_n + a_{n+1} - a_{n+2})$ 收敛于().
A. $S + a_1$
B. $S + a_2$
C. $S + a_1 - a_2$
D. $S + a_2 - a_1$
题目解答
答案
B. $S + a_2$
解析
步骤 1：定义部分和
设级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的和为 $S$，则其部分和 $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$ 满足 $\lim_{N \to \infty} S_N = S$。
步骤 2：计算新级数的部分和
考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty (a_n + a_{n+1} - a_{n+2})$ 的部分和 $T_N$： \[ T_N = \sum_{n=1}^N (a_n + a_{n+1} - a_{n+2}) = a_1 + 2a_2 + a_{N+1} - a_{N+2}. \]
步骤 3：求新级数的和
当 $N \to \infty$ 时，$a_{N+1} \to 0$，$a_{N+2} \to 0$，故 \[ \lim_{N \to \infty} T_N = a_1 + 2a_2. \] 或分解为 \[ \sum_{n=1}^\infty (a_n + a_{n+1} - a_{n+2}) = S + (S - a_1) - (S - a_1 - a_2) = S + a_2. \]
设级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的和为 $S$，则其部分和 $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$ 满足 $\lim_{N \to \infty} S_N = S$。
步骤 2：计算新级数的部分和
考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty (a_n + a_{n+1} - a_{n+2})$ 的部分和 $T_N$： \[ T_N = \sum_{n=1}^N (a_n + a_{n+1} - a_{n+2}) = a_1 + 2a_2 + a_{N+1} - a_{N+2}. \]
步骤 3：求新级数的和
当 $N \to \infty$ 时，$a_{N+1} \to 0$，$a_{N+2} \to 0$，故 \[ \lim_{N \to \infty} T_N = a_1 + 2a_2. \] 或分解为 \[ \sum_{n=1}^\infty (a_n + a_{n+1} - a_{n+2}) = S + (S - a_1) - (S - a_1 - a_2) = S + a_2. \]