题目
已知4阶矩阵的第3行的元素依次为-1,0,2,3，它们的余子式的值分别为2,-1,3,1，则_____.
已知4阶矩阵
的第3行的元素依次为-1,0,2,3，它们的余子式的值分别为2,-1,3,1，则
_____.
题目解答
答案
设
，记
的余子式为
，代数余子式为
由于的第3行的元素依次为-1,0,2,3
故
∵的第3行的元素的余子式的值分别为2,-1,3,1
故
由代数余子式的定义可知：
∴由按行展开的行列式计算公式可知：
∴
故答案是：.
解析
步骤 1：定义代数余子式
代数余子式定义为：${A}_{ij}={(-1)}^{i+j}{M}_{ij}$，其中${M}_{ij}$是矩阵$A$中元素$a_{ij}$的余子式。
步骤 2：计算代数余子式
根据题目中给出的余子式值，计算第3行的代数余子式：
${A}_{31}={(-1)}^{3+1}{M}_{31}=1\times 2=2$
${A}_{32}={(-1)}^{3+2}{M}_{32}=(-1)\times (-1)=1$
${A}_{33}={(-1)}^{3+3}{M}_{33}=1\times 3=3$
${A}_{34}={(-1)}^{3+4}{M}_{34}=(-1)\times 1=-1$
步骤 3：计算行列式值
根据行列式按行展开的公式，计算行列式$A$的值：
$A|={a}_{31}{A}_{31}+{a}_{32}{A}_{32}+{a}_{33}{A}_{33}+{a}_{34}{A}_{34}$
$=(-1)\times 2+0\times 1+2\times 3+3\times (-1)$
$=-2+0+6-3=1$
代数余子式定义为：${A}_{ij}={(-1)}^{i+j}{M}_{ij}$，其中${M}_{ij}$是矩阵$A$中元素$a_{ij}$的余子式。
步骤 2：计算代数余子式
根据题目中给出的余子式值，计算第3行的代数余子式：
${A}_{31}={(-1)}^{3+1}{M}_{31}=1\times 2=2$
${A}_{32}={(-1)}^{3+2}{M}_{32}=(-1)\times (-1)=1$
${A}_{33}={(-1)}^{3+3}{M}_{33}=1\times 3=3$
${A}_{34}={(-1)}^{3+4}{M}_{34}=(-1)\times 1=-1$
步骤 3：计算行列式值
根据行列式按行展开的公式，计算行列式$A$的值：
$A|={a}_{31}{A}_{31}+{a}_{32}{A}_{32}+{a}_{33}{A}_{33}+{a}_{34}{A}_{34}$
$=(-1)\times 2+0\times 1+2\times 3+3\times (-1)$
$=-2+0+6-3=1$