题目
.1-18 一质点沿x轴运动,其加速度a与位置坐标x的关系为 =2+6(x)^2 ,式-|||-中a的单位为 cdot (S)^-2 ,x的单位为m.如果质点在原点处的速度为零,试求其在任-|||-意位置处的速度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义变量和方程
设质点在x处的速度为v，由加速度的定义式 $a=\dfrac{dv}{dt}$，并利用链式法则，可以得到 $a=\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}=v\dfrac{dv}{dx}$。因此，根据题目中给出的加速度与位置的关系 $a=2+6x^2$，可以得到方程 $v\dfrac{dv}{dx}=2+6x^2$。
步骤 2：分离变量并积分
将方程 $v\dfrac{dv}{dx}=2+6x^2$ 分离变量，得到 $vdv=(2+6x^2)dx$。对两边进行积分，得到 $\int_0^v vdv=\int_0^x (2+6x^2)dx$。左边的积分是速度的平方的一半，右边的积分是位置的函数。
步骤 3：计算积分并求解速度
计算左边的积分 $\int_0^v vdv=\frac{1}{2}v^2$，计算右边的积分 $\int_0^x (2+6x^2)dx=2x+2x^3$。因此，有 $\frac{1}{2}v^2=2x+2x^3$。解这个方程得到速度 $v$ 的表达式。
设质点在x处的速度为v，由加速度的定义式 $a=\dfrac{dv}{dt}$，并利用链式法则，可以得到 $a=\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}=v\dfrac{dv}{dx}$。因此，根据题目中给出的加速度与位置的关系 $a=2+6x^2$，可以得到方程 $v\dfrac{dv}{dx}=2+6x^2$。
步骤 2：分离变量并积分
将方程 $v\dfrac{dv}{dx}=2+6x^2$ 分离变量，得到 $vdv=(2+6x^2)dx$。对两边进行积分，得到 $\int_0^v vdv=\int_0^x (2+6x^2)dx$。左边的积分是速度的平方的一半，右边的积分是位置的函数。
步骤 3：计算积分并求解速度
计算左边的积分 $\int_0^v vdv=\frac{1}{2}v^2$，计算右边的积分 $\int_0^x (2+6x^2)dx=2x+2x^3$。因此，有 $\frac{1}{2}v^2=2x+2x^3$。解这个方程得到速度 $v$ 的表达式。