题目
22.求方程组}x_{1)+x_(2)+x_(3)-3x_(4)=6,x_(1)-5x_(2)+x_(3)+3x_(4)=-6,x_(1)-2x_(2)+2x_(3)-x_(4)=2.的通解.
22.求方程组$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+x_{3}-3x_{4}=6,\\x_{1}-5x_{2}+x_{3}+3x_{4}=-6,\\x_{1}-2x_{2}+2x_{3}-x_{4}=2\end{matrix}\right.$的通解.
题目解答
答案
将方程组写成增广矩阵并进行初等行变换：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -3 & 6 \\
1 & -5 & 1 & 3 & -6 \\
1 & -2 & 2 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
解得：
\[
\begin{cases}
x_1 = x_4 + 2, \\
x_2 = x_4 + 2, \\
x_3 = x_4 + 2.
\end{cases}
\]
令 $x_4 = k$，则通解为：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}
+
k
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix},
}
\]
其中 $k$ 为任意常数。
解析
考查要点：本题主要考查线性方程组的通解求解，涉及增广矩阵的初等行变换、自由变量的确定以及解的结构分析。
解题核心思路：
- 将方程组转化为增广矩阵，通过初等行变换化为行最简形，明确主元位置和自由变量。
- 分离自由变量，将解表示为特解与齐次解的线性组合。
- 验证解的正确性，确保通解满足原方程组。
破题关键点：
- 正确进行行变换，确保矩阵化简准确。
- 识别自由变量，确定解的参数形式。
- 构造通解，结合特解和齐次解的空间结构。
将方程组写成增广矩阵形式：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & -3 & 6 \\1 & -5 & 1 & 3 & -6 \\1 & -2 & 2 & -1 & 2\end{pmatrix}$
初等行变换过程：
-
消去第二、第三行的第一个元素：
- 第二行减去第一行：$R2 \leftarrow R2 - R1$，得到 $0 \ -6 \ 0 \ 6 \ -12$。
- 第三行减去第一行：$R3 \leftarrow R3 - R1$，得到 $0 \ -3 \ 1 \ 2 \ -4$。
-
化简第二行为主元为1：
- 第二行除以$-6$：$R2 \leftarrow \frac{R2}{-6}$，得到 $0 \ 1 \ 0 \ -1 \ 2$。
-
消去第三行的第二个元素：
- 第三行加上$3$倍第二行：$R3 \leftarrow R3 + 3R2$，得到 $0 \ 0 \ 1 \ -1 \ 2$。
-
消去第一行的第二个和第三个元素：
- 第一行减去第二行：$R1 \leftarrow R1 - R2$，得到 $1 \ 0 \ 1 \ -2 \ 4$。
- 第一行减去第三行：$R1 \leftarrow R1 - R3$，得到 $1 \ 0 \ 0 \ -1 \ 2$。
最终增广矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\0 & 0 & 1 & -1 & 2\end{pmatrix}$
解的结构：
- 主变量：$x_1, x_2, x_3$，由自由变量$x_4$表示。
- 方程组化简结果：
$\begin{cases} x_1 = x_4 + 2, \\ x_2 = x_4 + 2, \\ x_3 = x_4 + 2. \end{cases}$ - 通解形式：令$x_4 = k$，则解向量为特解$\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}$与齐次解$k\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$的组合。