题目

某衣帽厂有甲、乙、丙三个工作间生产同一种衣服，已知各个工作间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，甲、乙、丙工作间的次品率为5%、4%、2%，现在从衣帽厂中检查出一个次品，是由甲工作间生产的概率是多少。设A、B、C为甲、乙、丙生产的商品，D表示次品 P(A)=25%,P(B)=35%,P(complement )=40% P(D|A.)=_P(D|B.)=_P(D|C.)=_ P(A|D.)=_

某衣帽厂有甲、乙、丙三个工作间生产同一种衣服，已知各个工作间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，甲、乙、丙工作间的次品率为5%、4%、2%，现在从衣帽厂中检查出一个次品，是由甲工作间生产的概率是多少。设A、B、C为甲、乙、丙生产的商品，D表示次品 $P(A)=25\%,P(B)=35\%,P(\complement )=40\%$ $P(D|
A.)=\_P(D|
B.)=\_P(D|
C.)=\_$ $P(A|
D.)=\_ $

题目解答

答案

已知条件： - $ P(A) = 0.25 $，$ P(B) = 0.35 $，$ P(C) = 0.40 $ - $ P(D|A) = 0.05 $，$ P(D|B) = 0.04 $，$ P(D|C) = 0.02 $ 计算全厂次品率 $ P(D) $： \[ P(D) = 0.05 \times 0.25 + 0.04 \times 0.35 + 0.02 \times 0.40 = 0.0345 \] 应用贝叶斯定理求 $ P(A|D) $： \[ P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} = \frac{0.05 \times 0.25}{0.0345} = \frac{25}{69} \approx 0.3623 \] **答案：** \[ \boxed{\frac{25}{69}} \]（或近似值 $ \boxed{0.3623} $） **填空：** \[ P(D|A) = 0.05, \quad P(D|B) = 0.04, \quad P(D|C) = 0.02, \quad P(A|D) = \frac{25}{69} \]

解析

本题考查全概率公式和贝叶斯定理的应用。解题解题时，我们需要先根据已知条件确定各个事件的概率，然后利用全概率公式计算出全厂的次品率，最后再运用贝叶斯定理求出在已知是次品的情况下，该次品是由甲工作间生产的概率。

确定已知概率：
- 已知甲、乙、丙三个工作间的产量分别占全厂产量的$25\%$、$35\%$、$40\%$，即$P(A)=0.25$，\P(B)=0.35)，\P(C)=0.40)。
- 甲、乙、丙工作间的次品率为$5\%$、$4\%$、$2\(2\%$，也就是\P(D|A)=0.05)，\P(D|B)=0.04)，\P(D|C)=0.02)
计算全厂次品率$P(D)$：
- 根据全概率公式为$P(D)=\sum_{i = 1}^{n}P(E_{i})P(D|E_{i})$，这里$E_{1}=A$，$E_{2}=B$，$E_{3}=C$，$其中\(A$、$B$、$C$两两互斥且$A\cup B\cup C=\Omega$，$\Omega$为样本空间)
- 将已知概率代入全概率公式可得：
  $P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)$
  $=0.05\times0.25 + 0.04\times0.35+0.02\times0.40$
  $=0.0125+0.014 + 0.008$
  $=0.0345$
应用贝叶斯定理求$P(A|D)$：
- 贝叶斯定理公式为\(P(A|D)=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}} - 将$P(D|A)=0.05$，$P(A)=0.25$，$P(D)=0.0345$代入公式可得：
  $P(A|D)=\frac{0.05\times0.25}{0.0345}=\frac{0.0125}{0.0345}=\frac{125}{345}=\frac{25}{69}\approx0.3623$