题目
[例16] 计算 (int )_(0)^1xarcsin xdx --|||-[解1] 分部+几何意义.-|||-[解2] 令 =sin t -
题目解答
答案
解析
步骤 1：分部积分法
我们使用分部积分法来计算积分 ${\int }_{0}^{1}x\arcsin xdx$。分部积分法的公式是 ${\int }_{a}^{b}u\left(x\right)v'\left(x\right)dx={\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]}_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}u'\left(x\right)v\left(x\right)dx$。我们选择 $u\left(x\right)=\arcsin x$ 和 $v'\left(x\right)=x$，则 $u'\left(x\right)=\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ 和 $v\left(x\right)=\dfrac {{x}^{2}}{2}$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分法，我们有 ${\int }_{0}^{1}x\arcsin xdx={\left[\dfrac {{x}^{2}}{2}\arcsin x\right]}_{0}^{1}-{\int }_{0}^{1}\dfrac {{x}^{2}}{2}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx$。计算第一项，我们得到 ${\left[\dfrac {{x}^{2}}{2}\arcsin x\right]}_{0}^{1}=\dfrac {1}{2}\arcsin 1-\dfrac {0}{2}\arcsin 0=\dfrac {\pi }{4}$。对于第二项，我们使用三角代换 $x=\sin t$，则 $dx=\cos tdt$，且当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=1$ 时 $t=\dfrac {\pi }{2}$。因此，第二项变为 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {{\sin }^{2}t}{2}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {1-{\sin }^{2}t}}\cos tdt={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {{\sin }^{2}t}{2}\cdot \dfrac {1}{\cos t}\cos tdt={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {{\sin }^{2}t}{2}dt$。
步骤 3：计算第二项
我们使用三角恒等式 ${\sin }^{2}t=\dfrac {1-\cos 2t}{2}$，则 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {{\sin }^{2}t}{2}dt={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {1-\cos 2t}{4}dt=\dfrac {1}{4}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\left(1-\cos 2t\right)dt=\dfrac {1}{4}\left[{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}1dt-{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\cos 2tdt\right]=\dfrac {1}{4}\left[\dfrac {\pi }{2}-\dfrac {1}{2}\sin 2t/\dfrac {\pi }{2}\right]=\dfrac {1}{4}\left[\dfrac {\pi }{2}-\dfrac {1}{2}\left(\sin \pi -\sin 0\right)\right]=\dfrac {\pi }{8}$。
我们使用分部积分法来计算积分 ${\int }_{0}^{1}x\arcsin xdx$。分部积分法的公式是 ${\int }_{a}^{b}u\left(x\right)v'\left(x\right)dx={\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]}_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}u'\left(x\right)v\left(x\right)dx$。我们选择 $u\left(x\right)=\arcsin x$ 和 $v'\left(x\right)=x$，则 $u'\left(x\right)=\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ 和 $v\left(x\right)=\dfrac {{x}^{2}}{2}$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分法，我们有 ${\int }_{0}^{1}x\arcsin xdx={\left[\dfrac {{x}^{2}}{2}\arcsin x\right]}_{0}^{1}-{\int }_{0}^{1}\dfrac {{x}^{2}}{2}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx$。计算第一项，我们得到 ${\left[\dfrac {{x}^{2}}{2}\arcsin x\right]}_{0}^{1}=\dfrac {1}{2}\arcsin 1-\dfrac {0}{2}\arcsin 0=\dfrac {\pi }{4}$。对于第二项，我们使用三角代换 $x=\sin t$，则 $dx=\cos tdt$，且当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=1$ 时 $t=\dfrac {\pi }{2}$。因此，第二项变为 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {{\sin }^{2}t}{2}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {1-{\sin }^{2}t}}\cos tdt={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {{\sin }^{2}t}{2}\cdot \dfrac {1}{\cos t}\cos tdt={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {{\sin }^{2}t}{2}dt$。
步骤 3：计算第二项
我们使用三角恒等式 ${\sin }^{2}t=\dfrac {1-\cos 2t}{2}$，则 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {{\sin }^{2}t}{2}dt={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {1-\cos 2t}{4}dt=\dfrac {1}{4}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\left(1-\cos 2t\right)dt=\dfrac {1}{4}\left[{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}1dt-{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\cos 2tdt\right]=\dfrac {1}{4}\left[\dfrac {\pi }{2}-\dfrac {1}{2}\sin 2t/\dfrac {\pi }{2}\right]=\dfrac {1}{4}\left[\dfrac {\pi }{2}-\dfrac {1}{2}\left(\sin \pi -\sin 0\right)\right]=\dfrac {\pi }{8}$。