题目
一人从10.0 m 深的井中提水,起始桶中装有10.0 kg 的水,由于水桶漏水,每升高1.00 m 要漏去0.20kg 的水．水桶被匀速地从井中提到井口,求所作的功．
一人从10.0 m 深的井中提水,起始桶中装有10.0 kg 的水,由于水桶漏水,每升高1.00 m 要漏去0.20
kg 的水．水桶被匀速地从井中提到井口,求所作的功．
题目解答
答案
解 水桶在匀速上提过程中,a ＝0,拉力与水桶重力平衡,有
F ＋P ＝0
在图示所取坐标下,水桶重力随位置的变化关系为
P ＝mg -αgy
其中α＝0．2 kg/m,人对水桶的拉力的功为
解析
步骤 1：确定水桶的重量随高度变化的函数
水桶起始时装有10.0 kg的水，每升高1.00 m要漏去0.20 kg的水。因此，水桶的重量随高度变化的函数为：
$P(y) = m_{0}g - \alpha gy$
其中，$m_{0} = 10.0 kg$，$\alpha = 0.2 kg/m$，$g = 9.8 m/s^{2}$，$y$为高度。
步骤 2：计算拉力的功
水桶被匀速地从井中提到井口，拉力与水桶重力平衡，有$F(y) = -P(y)$。人对水桶的拉力的功为：
$W = \int_{0}^{10} F(y) dy = \int_{0}^{10} (m_{0}g - \alpha gy) dy$
步骤 3：计算积分
$W = \int_{0}^{10} (m_{0}g - \alpha gy) dy = \int_{0}^{10} (10.0 \times 9.8 - 0.2 \times 9.8 y) dy$
$W = \int_{0}^{10} (98 - 1.96 y) dy$
$W = [98y - 0.98y^{2}]_{0}^{10}$
$W = 98 \times 10 - 0.98 \times 10^{2}$
$W = 980 - 98$
$W = 882 J$
水桶起始时装有10.0 kg的水，每升高1.00 m要漏去0.20 kg的水。因此，水桶的重量随高度变化的函数为：
$P(y) = m_{0}g - \alpha gy$
其中，$m_{0} = 10.0 kg$，$\alpha = 0.2 kg/m$，$g = 9.8 m/s^{2}$，$y$为高度。
步骤 2：计算拉力的功
水桶被匀速地从井中提到井口，拉力与水桶重力平衡，有$F(y) = -P(y)$。人对水桶的拉力的功为：
$W = \int_{0}^{10} F(y) dy = \int_{0}^{10} (m_{0}g - \alpha gy) dy$
步骤 3：计算积分
$W = \int_{0}^{10} (m_{0}g - \alpha gy) dy = \int_{0}^{10} (10.0 \times 9.8 - 0.2 \times 9.8 y) dy$
$W = \int_{0}^{10} (98 - 1.96 y) dy$
$W = [98y - 0.98y^{2}]_{0}^{10}$
$W = 98 \times 10 - 0.98 \times 10^{2}$
$W = 980 - 98$
$W = 882 J$