3.(判断题，20分)集合S=(x_{1),x_(2),...,x_(n-1),0)mid x_(1),x_(2),...,x_(n-1)in R}构成n维向量空间.A.对B.错A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查对向量空间维数的理解，以及判断给定集合是否构成特定维数向量空间的能力。

解题核心思路：

1. 明确向量空间的定义：集合需满足对加法和标量乘法封闭，并包含零向量、每个向量的负向量等。
2. 分析集合的结构：集合$S$中所有向量的最后一个分量恒为0，说明其本质是n维空间中的一个子空间。
3. 确定维数：通过寻找基底，判断该子空间的实际维数是否等于题目中声称的n维。

破题关键点：

• 基底的存在性：若集合能被$n-1$个线性无关的向量张成，则其维数为$n-1$，而非n维。

集合$S$中的向量形式为$(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, 0)$，其中前$n-1$个分量任意，最后一个分量固定为0。具体分析如下：

1. 验证子空间条件：

   • 零向量存在：当$x_1 = x_2 = \cdots = x_{n-1} = 0$时，向量$(0, 0, \cdots, 0) \in S$。
   • 加法封闭：若$\mathbf{u} = (u_1, \cdots, u_{n-1}, 0)$和$\mathbf{v} = (v_1, \cdots, v_{n-1}, 0)$属于$S$，则$\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, \cdots, u_{n-1} + v_{n-1}, 0) \in S$。
   • 标量乘法封闭：若$k \in \mathbb{R}$，则$k\mathbf{u} = (k u_1, \cdots, k u_{n-1}, 0) \in S$。
     因此，$S$是n维向量空间的一个子空间。

2. 确定维数：

   • 基底构造：定义$n-1$个向量$\mathbf{e}_i = (0, \cdots, 1, \cdots, 0, 0)$（第$i$个分量为1，其余为0，$i = 1, 2, \cdots, n-1$）。
   • 线性无关性：这些向量显然线性无关，且能张成$S$中所有向量。
   • 维数结论：基底的个数为$n-1$，因此$S$的维数为$n-1$，而非$n$维。

结论：题目中“构成n维向量空间”的说法错误，正确答案为B。