题目
已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．当((AC))/((AB))取得最小值时，BD= ____ ．
已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．当$\frac{{AC}}{{AB}}$取得最小值时，BD= ____ ．
题目解答
答案
解：设BD=x，CD=2x，
在三角形ACD中，b2=4x2+4-2•2x•2•cos60°，可得：b2=4x2-4x+4，
在三角形ABD中，c2=x2+4-2•x•2•cos120°，可得：c2=x2+2x+4，
要使得$\frac{AC}{AB}$最小，即$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$最小，
$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\frac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=\frac{4（{x}^{2}+2x+4）-12x-12}{{x}^{2}+2x+4}$=$4-12•\frac{x+1}{{x}^{2}+2x+4}$=$4-12•\frac{x+1}{（x+1）^{2}+3}=4-\frac{12}{x+1+\frac{3}{x+1}}$，
其中$x+1+\frac{3}{x+1}≥2\sqrt{3}$，此时$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}≥4-2\sqrt{3}$，
当且仅当$x+1=\sqrt{3}$时，即$x=\sqrt{3}-1$时取等号，
故答案为：$\sqrt{3}-1$．
在三角形ACD中，b2=4x2+4-2•2x•2•cos60°，可得：b2=4x2-4x+4，
在三角形ABD中，c2=x2+4-2•x•2•cos120°，可得：c2=x2+2x+4，
要使得$\frac{AC}{AB}$最小，即$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$最小，
$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\frac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=\frac{4（{x}^{2}+2x+4）-12x-12}{{x}^{2}+2x+4}$=$4-12•\frac{x+1}{{x}^{2}+2x+4}$=$4-12•\frac{x+1}{（x+1）^{2}+3}=4-\frac{12}{x+1+\frac{3}{x+1}}$，
其中$x+1+\frac{3}{x+1}≥2\sqrt{3}$，此时$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}≥4-2\sqrt{3}$，
当且仅当$x+1=\sqrt{3}$时，即$x=\sqrt{3}-1$时取等号，
故答案为：$\sqrt{3}-1$．
解析
步骤 1：设BD=x，CD=2x
根据题意，设BD=x，CD=2BD=2x。
步骤 2：在三角形ACD中，应用余弦定理
在三角形ACD中，根据余弦定理，有：
\[b^{2} = AD^{2} + CD^{2} - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)\]
代入已知条件，得：
\[b^{2} = 4 + 4x^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 2x \cdot \cos(60°)\]
\[b^{2} = 4x^{2} - 4x + 4\]
步骤 3：在三角形ABD中，应用余弦定理
在三角形ABD中，根据余弦定理，有：
\[c^{2} = AD^{2} + BD^{2} - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB)\]
代入已知条件，得：
\[c^{2} = 4 + x^{2} - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \cos(120°)\]
\[c^{2} = x^{2} + 2x + 4\]
步骤 4：求$\frac{AC}{AB}$的最小值
要使得$\frac{AC}{AB}$最小，即$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$最小，即：
\[\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\frac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=\frac{4（{x}^{2}+2x+4）-12x-12}{{x}^{2}+2x+4}\]
\[=4-12•\frac{x+1}{{x}^{2}+2x+4}=4-\frac{12}{x+1+\frac{3}{x+1}}\]
其中$x+1+\frac{3}{x+1}≥2\sqrt{3}$，此时$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}≥4-2\sqrt{3}$，
当且仅当$x+1=\sqrt{3}$时，即$x=\sqrt{3}-1$时取等号。
根据题意，设BD=x，CD=2BD=2x。
步骤 2：在三角形ACD中，应用余弦定理
在三角形ACD中，根据余弦定理，有：
\[b^{2} = AD^{2} + CD^{2} - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)\]
代入已知条件，得：
\[b^{2} = 4 + 4x^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 2x \cdot \cos(60°)\]
\[b^{2} = 4x^{2} - 4x + 4\]
步骤 3：在三角形ABD中，应用余弦定理
在三角形ABD中，根据余弦定理，有：
\[c^{2} = AD^{2} + BD^{2} - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB)\]
代入已知条件，得：
\[c^{2} = 4 + x^{2} - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \cos(120°)\]
\[c^{2} = x^{2} + 2x + 4\]
步骤 4：求$\frac{AC}{AB}$的最小值
要使得$\frac{AC}{AB}$最小，即$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$最小，即：
\[\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\frac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=\frac{4（{x}^{2}+2x+4）-12x-12}{{x}^{2}+2x+4}\]
\[=4-12•\frac{x+1}{{x}^{2}+2x+4}=4-\frac{12}{x+1+\frac{3}{x+1}}\]
其中$x+1+\frac{3}{x+1}≥2\sqrt{3}$，此时$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}≥4-2\sqrt{3}$，
当且仅当$x+1=\sqrt{3}$时，即$x=\sqrt{3}-1$时取等号。