题目
3.计算下列对弧长的曲线积分:-|||-(1) (int )_(1)^infty (({x)^2+(y)^2)}^nds ,其中L为圆周 =acos t ,=asin t(0leqslant tleqslant 2pi ) :
题目解答
答案
解析
步骤 1：参数化曲线
给定的曲线是圆周，参数化为 $x=a\cos t$ 和 $y=a\sin t$，其中 $0\leqslant t\leqslant 2\pi$。这表示曲线上的点 $(x,y)$ 可以通过参数 $t$ 来表示。
步骤 2：计算弧长微分 $ds$
弧长微分 $ds$ 可以通过参数 $t$ 来计算。首先，计算 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的导数：
$$
\frac{dx}{dt} = -a\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = a\cos t
$$
然后，根据弧长微分的公式 $ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt$，我们有：
$$
ds = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2}dt = \sqrt{a^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}dt = a dt
$$
因为 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$。
步骤 3：计算积分
现在，我们可以计算给定的积分：
$$
{\int }_{0}^{2\pi }{({x}^{2}+{y}^{2})}^{n}ds = {\int }_{0}^{2\pi }{(a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t)}^{n}ds = {\int }_{0}^{2\pi }{(a^2)}^{n}ds = a^{2n}{\int }_{0}^{2\pi }ds = a^{2n}{\int }_{0}^{2\pi }adt = a^{2n+1}{\int }_{0}^{2\pi }dt = 2\pi a^{2n+1}
$$
给定的曲线是圆周，参数化为 $x=a\cos t$ 和 $y=a\sin t$，其中 $0\leqslant t\leqslant 2\pi$。这表示曲线上的点 $(x,y)$ 可以通过参数 $t$ 来表示。
步骤 2：计算弧长微分 $ds$
弧长微分 $ds$ 可以通过参数 $t$ 来计算。首先，计算 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的导数：
$$
\frac{dx}{dt} = -a\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = a\cos t
$$
然后，根据弧长微分的公式 $ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt$，我们有：
$$
ds = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2}dt = \sqrt{a^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}dt = a dt
$$
因为 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$。
步骤 3：计算积分
现在，我们可以计算给定的积分：
$$
{\int }_{0}^{2\pi }{({x}^{2}+{y}^{2})}^{n}ds = {\int }_{0}^{2\pi }{(a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t)}^{n}ds = {\int }_{0}^{2\pi }{(a^2)}^{n}ds = a^{2n}{\int }_{0}^{2\pi }ds = a^{2n}{\int }_{0}^{2\pi }adt = a^{2n+1}{\int }_{0}^{2\pi }dt = 2\pi a^{2n+1}
$$