6.已知命题 :forall xin R,a(x)^2+2x+3gt 0 为真命题,则实数a的取值范围是 ()-|||-A. a|0lt aleqslant dfrac {1)(2)} B. a|0lt alt dfrac {1)(3)} C. a|ageqslant dfrac {1)(3)} D. a|agt dfrac {1)(3)}

考查要点：本题主要考查二次函数恒成立的条件，涉及二次函数的开口方向及判别式的应用。

解题核心思路：

1. 二次项系数不为零：当$a=0$时，函数退化为一次函数，无法恒正，因此$a \neq 0$。
2. 开口方向：二次函数恒正需开口向上，即$a > 0$。
3. 判别式条件：判别式$\Delta < 0$，确保抛物线与$x$轴无交点，从而整体在$x$轴上方。

破题关键点：

• 排除$a=0$的情况，明确$a$必须为正数。
• 联立开口方向与判别式条件，推导出$a$的范围。

步骤1：分析$a=0$的情况
当$a=0$时，原式变为$2x + 3$，这是一个一次函数。由于一次函数的值会随$x$的变化而正负交替，无法恒正，因此$a=0$不满足条件。

步骤2：分析$a \neq 0$的情况
此时函数为二次函数，需满足以下两个条件：

1. 开口向上：二次项系数$a > 0$。
2. 判别式$\Delta < 0$：
   $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = 4 - 12a$
   要求$\Delta < 0$，即：
   $4 - 12a < 0 \quad \Rightarrow \quad 12a > 4 \quad \Rightarrow \quad a > \dfrac{1}{3}$

步骤3：综合条件
结合$a > 0$和$a > \dfrac{1}{3}$，最终$a$的取值范围为：
$a > \dfrac{1}{3}$