题目
曲线=(e)^dfrac (1{{x)^2}}arctan dfrac ({x)^2+x+1}((x-1)(x+2)) 的渐近线有-|||-(A)1条. (B)2条-|||-(C)3条 (D)4条
曲线
题目解答
答案
解析：
解析
考查要点：本题主要考查函数渐近线的求解，包括水平渐近线、垂直渐近线的判断方法，以及对复合函数极限的分析能力。
解题核心思路：
- 水平渐近线：计算当$x \to \infty$时函数的极限值，若存在有限极限，则对应水平渐近线。
- 垂直渐近线：寻找使函数趋向于无穷大的$x$值，需特别注意分母为零的点是否导致函数发散。
- 斜渐近线：若水平渐近线存在，则无需考虑斜渐近线。
破题关键点：
- 分式化简：当$x \to \infty$时，分式$\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)}$的主导项为$x^2/x^2=1$，从而$\arctan$部分趋近于$\dfrac{\pi}{4}$。
- 指数函数分析：$e^{\frac{1}{x^2}}$在$x \to \infty$时趋近于$1$，但在$x \to 0$时趋近于$+\infty$。
- 分母为零的点：虽然$x=1$和$x=-2$使分母为零，但计算极限时发现函数值有限，故不是垂直渐近线。
水平渐近线分析
当$x \to \infty$时：
- 分式化简：$\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)} \approx \dfrac{x^2}{x^2} = 1$，故$\arctan(1) = \dfrac{\pi}{4}$。
- 指数部分：$e^{\frac{1}{x^2}} \to e^0 = 1$。
- 整体极限：$\lim_{x \to \infty} y = 1 \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}$，故水平渐近线为$y = \dfrac{\pi}{4}$。
垂直渐近线分析
- 分母为零的点：分母$(x-1)(x+2)=0$时，$x=1$或$x=-2$。
- 当$x \to 1$时：分式$\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)} \to \dfrac{3}{0^+}$，但$\arctan(+\infty) = \dfrac{\pi}{2}$，且$e^{\frac{1}{x^2}}$有限，故极限为有限值。
- 当$x \to -2$时：分式$\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)} \to \dfrac{3}{0^-}$，但$\arctan(-\infty) = -\dfrac{\pi}{2}$，极限仍为有限值。
- $x=0$的特殊性：当$x \to 0$时，$e^{\frac{1}{x^2}} \to +\infty$，而$\arctan\left(\dfrac{1}{-2}\right)$为有限负值，故整体极限为$-\infty$，因此$x=0$是垂直渐近线。
斜渐近线分析
由于水平渐近线已存在，且$\lim_{x \to \infty} \dfrac{y}{x} = 0$，故不存在斜渐近线。