题目

1.18 已知函数y=e^x^(3)，则其弹性函数(Ey)/(Ex)=（）bigcirc 3x^2bigcirc 3x^3bigcirc 2x^3bigcirc 3e^x^(3)

1.18 已知函数$y=e^{x^{3}}$，则其弹性函数$\frac{Ey}{Ex}=（）$ $\bigcirc 3x^{2}$ $\bigcirc 3x^{3}$ $\bigcirc 2x^{3}$ $\bigcirc 3e^{x^{3}}$

题目解答

答案

函数 $ y = e^{x^3} $ 的导数为： \[ \frac{dy}{dx} = e^{x^3} \cdot 3x^2 \] 弹性函数定义为： \[ \frac{Ey}{Ex} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{y} = \left( e^{x^3} \cdot 3x^2 \right) \cdot \frac{x}{e^{x^3}} = 3x^3 \] 或者，对等式两边取对数求导： \[ \ln y = x^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 3x^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 3x^3 \] 因此，弹性函数为 $ 3x^3 $，对应选项 $\boxed{B}$。

解析

弹性函数的计算核心在于理解其定义：弹性函数$\frac{Ey}{Ex}$等于函数的导数$\frac{dy}{dx}$乘以$\frac{x}{y}$。本题的关键在于正确应用链式法则求导，并准确代入弹性函数的公式进行化简。

考查要点：

  1. 复合函数求导：对$y = e^{x^3}$使用链式法则求导。
  2. 弹性函数公式：$\frac{Ey}{Ex} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{y}$。

步骤1：求导数$\frac{dy}{dx}$

函数$y = e^{x^3}$是复合函数，外层为指数函数$e^u$，内层为$u = x^3$。根据链式法则：
$\frac{dy}{dx} = e^{x^3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$

步骤2：代入弹性函数公式

弹性函数定义为：
$\frac{Ey}{Ex} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{y}$
将$\frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{x^3}$和$y = e^{x^3}$代入：
$\frac{Ey}{Ex} = 3x^2 e^{x^3} \cdot \frac{x}{e^{x^3}} = 3x^2 \cdot x = 3x^3$

关键点：分子中的$e^{x^3}$与分母中的$e^{x^3}$约去，最终结果仅保留$x$的幂次。