题目
质量为m的小球在水中受到的浮力为常力F,当它静止-|||-开始沉降时,受到水的粘滞阻力与沉降速度成正比,-|||-比例系数为k,求:-|||-(1)小球在水中竖直沉降的速度v及沉降距离与时间t-|||-的关系.-|||-(2)小球在水中沉降距离与时间t的关系.
题目解答
答案
质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力大小f=kv（k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间表t的关系为v=(mg-F)/k*(1-e(-ktm)),。
解析
步骤 1：确定小球的受力情况
小球在水中受到重力mg、浮力F和粘滞阻力kv。根据牛顿第二定律，小球的加速度a满足：ma = mg - F - kv。由于a = dv/dt，可以得到微分方程：m(dv/dt) = mg - F - kv。
步骤 2：求解速度v与时间t的关系
将微分方程改写为：dv/dt = (mg - F)/m - (k/m)v。这是一个一阶线性微分方程，其通解为：v(t) = (mg - F)/k * (1 - e^(-kt/m))。当t=0时，v=0，满足初始条件。
步骤 3：求解沉降距离与时间t的关系
沉降距离s与时间t的关系可以通过速度v对时间t的积分得到。即s(t) = ∫v(t)dt = ∫[(mg - F)/k * (1 - e^(-kt/m))]dt。计算积分得到：s(t) = (mg - F)/k * (t + m/k * e^(-kt/m) - m/k)。
小球在水中受到重力mg、浮力F和粘滞阻力kv。根据牛顿第二定律，小球的加速度a满足：ma = mg - F - kv。由于a = dv/dt，可以得到微分方程：m(dv/dt) = mg - F - kv。
步骤 2：求解速度v与时间t的关系
将微分方程改写为：dv/dt = (mg - F)/m - (k/m)v。这是一个一阶线性微分方程，其通解为：v(t) = (mg - F)/k * (1 - e^(-kt/m))。当t=0时，v=0，满足初始条件。
步骤 3：求解沉降距离与时间t的关系
沉降距离s与时间t的关系可以通过速度v对时间t的积分得到。即s(t) = ∫v(t)dt = ∫[(mg - F)/k * (1 - e^(-kt/m))]dt。计算积分得到：s(t) = (mg - F)/k * (t + m/k * e^(-kt/m) - m/k)。