题目
已知y=e^x+int_(0)^xy(t)dt，则函数y(x)的表达式为（ ）A. y=xe^x+CB. y=xe^xC. y=xe^x+Ce^xD. y=(x+1)e^x
已知$y=e^{x}+\int_{0}^{x}y\left(t\right)dt$，则函数$y\left(x\right)$的表达式为（ ）
A. $y=xe^{x}+C$
B. $y=xe^{x}$
C. $y=xe^{x}+Ce^{x}$
D. $y=\left(x+1\right)e^{x}$
题目解答
答案
D. $y=\left(x+1\right)e^{x}$
解析
步骤 1：求导
对给定的方程$y=e^{x}+\int_{0}^{x}y\left(t\right)dt$两边对$x$求导，得到$y'=e^{x}+y$。
步骤 2：求解微分方程
这是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解形式为$y=e^{x}\left(x+C\right)$，其中$C$是积分常数。
步骤 3：确定常数$C$
根据初始条件$y(0)=1$，代入$y=e^{x}\left(x+C\right)$，得到$1=e^{0}\left(0+C\right)$，从而确定$C=1$。
对给定的方程$y=e^{x}+\int_{0}^{x}y\left(t\right)dt$两边对$x$求导，得到$y'=e^{x}+y$。
步骤 2：求解微分方程
这是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解形式为$y=e^{x}\left(x+C\right)$，其中$C$是积分常数。
步骤 3：确定常数$C$
根据初始条件$y(0)=1$，代入$y=e^{x}\left(x+C\right)$，得到$1=e^{0}\left(0+C\right)$，从而确定$C=1$。