小王到某车站等公交车．该公交站有两路公交车都可以把他送到目的地．这两路车先前曾同时到达了这个车站，其中路车之后每20分钟再来一趟，路车之后每30分钟再来一趟．如果不考虑公交车晚点情况，小王随机地到达车站后，他等车时间的期望是多少分钟？A. 6.33B. 7.33C. 8.33D. 9.33

考查要点：本题主要考查均匀分布下的期望计算以及周期性事件的时间间隔分析。关键在于理解两路公交车的发车时间规律，并将整个周期划分为不同区间，分别计算每个区间内的期望等待时间。

解题思路：

1. 确定周期：两路车发车间隔分别为20分钟和30分钟，最小公倍数为60分钟，因此周期为60分钟。
2. 划分区间：根据两路车的发车时间点，将60分钟划分为四个区间，在每个区间内确定小王会选择哪一路车，并计算对应的等待时间函数。
3. 分段计算期望：对每个区间内的等待时间进行积分求期望，再按时间权重相加得到总期望。

周期划分与区间分析

两路车的发车时间点如下：

• A路：0, 20, 40, 60分钟...
• B路：0, 30, 60分钟...

将60分钟划分为四个区间：

1. 0 ≤ t < 20：A车等待时间为20−t，B车为30−t，选择A车。
2. 20 ≤ t < 30：A车等待时间为40−t，B车为30−t，选择B车。
3. 30 ≤ t < 40：A车等待时间为40−t，B车为60−t，选择A车。
4. 40 ≤ t < 60：A车和B车等待时间均为60−t。

各区间期望计算

区间0−20分钟

等待时间函数：$20 - t$
期望：$\frac{1}{20} \int_{0}^{20} (20 - t) dt = \frac{1}{20} \left[ 20t - \frac{t^2}{2} \right]_0^{20} = 10$
权重：$\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$
贡献：$10 \times \frac{1}{3} \approx 3.333$

区间20−30分钟

等待时间函数：$30 - t$
期望：$\frac{1}{10} \int_{20}^{30} (30 - t) dt = \frac{1}{10} \left[ 30t - \frac{t^2}{2} \right]_{20}^{30} = 5$
权重：$\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$
贡献：$5 \times \frac{1}{6} \approx 0.833$

区间30−40分钟

等待时间函数：$40 - t$
期望：$\frac{1}{10} \int_{30}^{40} (40 - t) dt = \frac{1}{10} \left[ 40t - \frac{t^2}{2} \right]_{30}^{40} = 5$
权重：$\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$
贡献：$5 \times \frac{1}{6} \approx 0.833$

区间40−60分钟

等待时间函数：$60 - t$
期望：$\frac{1}{20} \int_{40}^{60} (60 - t) dt = \frac{1}{20} \left[ 60t - \frac{t^2}{2} \right]_{40}^{60} = 10$
权重：$\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$
贡献：$10 \times \frac{1}{3} \approx 3.333$

总期望

总期望等待时间：
$3.333 + 0.833 + 0.833 + 3.333 = 8.332 \approx 8.33 \text{分钟}$