题目
微分方程 y'' - 4y = e^2x 的通解是（）A. y = C_1 e^2x + C_2 e^-2x - (x)/(4) e^2x.B. y = C_1 e^2x + C_2 xe^-2x + (x)/(4) e^2x.C. y = C_1 e^2x + C_2 e^-2x + (x)/(4) e^2x.D. y = (C_1 + C_2 x)e^2x + (x)/(4) e^2x.
微分方程 $y'' - 4y = e^{2x}$ 的通解是（）
A. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - \frac{x}{4} e^{2x}$.
B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 xe^{-2x} + \frac{x}{4} e^{2x}$.
C. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \frac{x}{4} e^{2x}$.
D. $y = (C_1 + C_2 x)e^{2x} + \frac{x}{4} e^{2x}$.
题目解答
答案
C. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \frac{x}{4} e^{2x}$.
解析
步骤 1：求齐次方程通解
特征方程为 $r^2 - 4 = 0$，解得 $r = \pm 2$。因此，齐次方程的通解为 $y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$。
步骤 2：求非齐次方程特解
非齐次项 $e^{2x}$ 与齐次解重复，设特解为 $y_p = A x e^{2x}$。求导得 $y_p' = A e^{2x} (1 + 2x)$，$y_p'' = 4A e^{2x} (1 + x)$。代入原方程解得 $A = \frac{1}{4}$，故特解为 $y_p = \frac{x}{4} e^{2x}$。
步骤 3：组合通解
非齐次方程通解为 $y = y_h + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \frac{x}{4} e^{2x}$。
特征方程为 $r^2 - 4 = 0$，解得 $r = \pm 2$。因此，齐次方程的通解为 $y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$。
步骤 2：求非齐次方程特解
非齐次项 $e^{2x}$ 与齐次解重复，设特解为 $y_p = A x e^{2x}$。求导得 $y_p' = A e^{2x} (1 + 2x)$，$y_p'' = 4A e^{2x} (1 + x)$。代入原方程解得 $A = \frac{1}{4}$，故特解为 $y_p = \frac{x}{4} e^{2x}$。
步骤 3：组合通解
非齐次方程通解为 $y = y_h + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \frac{x}{4} e^{2x}$。