题目
int dfrac (x+{x)^3}(1+{x)^4}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1： 分解被积函数
将被积函数 $\dfrac {x+{x}^{3}}{1+{x}^{4}}$ 分解为两个部分，即 $\dfrac {x}{1+{x}^{4}}$ 和 $\dfrac {{x}^{3}}{1+{x}^{4}}$，这样可以分别对这两个部分进行积分。
步骤 2： 对 $\dfrac {x}{1+{x}^{4}}$ 进行积分
令 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$，所以 $\dfrac {x}{1+{x}^{4}}dx = \dfrac {1}{2} \dfrac {du}{1+u^2}$。根据积分公式 $\int \dfrac {1}{1+u^2}du = \arctan u + C$，可以得到 $\int \dfrac {x}{1+{x}^{4}}dx = \dfrac {1}{2} \arctan x^2 + C_1$。
步骤 3： 对 $\dfrac {{x}^{3}}{1+{x}^{4}}$ 进行积分
令 $v = 1+x^4$，则 $dv = 4x^3 dx$，所以 $\dfrac {{x}^{3}}{1+{x}^{4}}dx = \dfrac {1}{4} \dfrac {dv}{v}$。根据积分公式 $\int \dfrac {1}{v}dv = \ln |v| + C$，可以得到 $\int \dfrac {{x}^{3}}{1+{x}^{4}}dx = \dfrac {1}{4} \ln |1+x^4| + C_2$。
步骤 4： 合并结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，得到 $\int \dfrac {x+{x}^{3}}{1+{x}^{4}}dx = \dfrac {1}{2} \arctan x^2 + \dfrac {1}{4} \ln |1+x^4| + C$，其中 $C = C_1 + C_2$ 是积分常数。
将被积函数 $\dfrac {x+{x}^{3}}{1+{x}^{4}}$ 分解为两个部分，即 $\dfrac {x}{1+{x}^{4}}$ 和 $\dfrac {{x}^{3}}{1+{x}^{4}}$，这样可以分别对这两个部分进行积分。
步骤 2： 对 $\dfrac {x}{1+{x}^{4}}$ 进行积分
令 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$，所以 $\dfrac {x}{1+{x}^{4}}dx = \dfrac {1}{2} \dfrac {du}{1+u^2}$。根据积分公式 $\int \dfrac {1}{1+u^2}du = \arctan u + C$，可以得到 $\int \dfrac {x}{1+{x}^{4}}dx = \dfrac {1}{2} \arctan x^2 + C_1$。
步骤 3： 对 $\dfrac {{x}^{3}}{1+{x}^{4}}$ 进行积分
令 $v = 1+x^4$，则 $dv = 4x^3 dx$，所以 $\dfrac {{x}^{3}}{1+{x}^{4}}dx = \dfrac {1}{4} \dfrac {dv}{v}$。根据积分公式 $\int \dfrac {1}{v}dv = \ln |v| + C$，可以得到 $\int \dfrac {{x}^{3}}{1+{x}^{4}}dx = \dfrac {1}{4} \ln |1+x^4| + C_2$。
步骤 4： 合并结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，得到 $\int \dfrac {x+{x}^{3}}{1+{x}^{4}}dx = \dfrac {1}{2} \arctan x^2 + \dfrac {1}{4} \ln |1+x^4| + C$，其中 $C = C_1 + C_2$ 是积分常数。