题目
已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( ) A. (1)/(3) B. (1)/(2) C. ((sqrt(3)))/(3) D. ((sqrt(2)))/(2)
已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
- A. $\frac{1}{3}$
- B. $\frac{1}{2}$
- C. $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
- D. $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
题目解答
答案
解：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，
则r=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴该四棱锥的高h=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}$，
∴该四棱锥的体积V=$\frac{1}{3}{a}^{2}\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}•\frac{{a}^{2}}{4}•(1-\frac{{a}^{2}}{2})}$≤$\frac{4}{3}\sqrt{(\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}+1-\frac{{a}^{2}}{2}}{3})^{3}}$=$\frac{4}{3}\sqrt{(\frac{1}{3})^{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{27}$，
当且仅当$\frac{{a}^{2}}{4}=1-\frac{{a}^{2}}{2}$，即${a}^{2}=\frac{4}{3}$时，等号成立，
∴该四棱锥的体积最大时，其高h=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：C．
则r=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴该四棱锥的高h=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}$，
∴该四棱锥的体积V=$\frac{1}{3}{a}^{2}\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}•\frac{{a}^{2}}{4}•(1-\frac{{a}^{2}}{2})}$≤$\frac{4}{3}\sqrt{(\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}+1-\frac{{a}^{2}}{2}}{3})^{3}}$=$\frac{4}{3}\sqrt{(\frac{1}{3})^{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{27}$，
当且仅当$\frac{{a}^{2}}{4}=1-\frac{{a}^{2}}{2}$，即${a}^{2}=\frac{4}{3}$时，等号成立，
∴该四棱锥的体积最大时，其高h=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：C．
解析
步骤 1：确定四棱锥体积最大时的条件
当四棱锥的底面为正方形，且顶点O到底面的垂直距离最大时，四棱锥的体积最大。此时，底面的四个顶点均在球O的球面上，且底面正方形的中心与球心O重合。
步骤 2：计算底面正方形的边长
设底面正方形的边长为a，底面所在圆的半径为r，则r=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$。因为底面正方形的四个顶点均在球O的球面上，所以r=1，即$\frac{\sqrt{2}}{2}a=1$，解得$a=\sqrt{2}$。
步骤 3：计算四棱锥的高
设四棱锥的高为h，则h=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\sqrt{1-\frac{2}{2}}$=$\sqrt{1-1}$=$\sqrt{0}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
当四棱锥的底面为正方形，且顶点O到底面的垂直距离最大时，四棱锥的体积最大。此时，底面的四个顶点均在球O的球面上，且底面正方形的中心与球心O重合。
步骤 2：计算底面正方形的边长
设底面正方形的边长为a，底面所在圆的半径为r，则r=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$。因为底面正方形的四个顶点均在球O的球面上，所以r=1，即$\frac{\sqrt{2}}{2}a=1$，解得$a=\sqrt{2}$。
步骤 3：计算四棱锥的高
设四棱锥的高为h，则h=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\sqrt{1-\frac{2}{2}}$=$\sqrt{1-1}$=$\sqrt{0}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$。