题目
[题目]求曲面 =dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2 平行于平面 2x+2y-z=0 的-|||-切平面方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定切点
设切点P (x0,y0,z0)，则切点处的法向量为 $\overrightarrow {n}=({x}_{0},2{y}_{0},-1)$。
步骤 2：确定法向量与平面的平行关系
由已知条件，法向量与平面 $2x+2y-z=0$ 的法向量平行，即 $\dfrac {{x}_{0}}{2}=\dfrac {2{y}_{0}}{2}=\dfrac {-1}{-1}$。
步骤 3：求解切点坐标
由步骤2的条件，得到 ${x}_{0}=2$，${y}_{0}=1$。代入曲面方程求得 ${z}_{0}=\dfrac {{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=3$。
步骤 4：求解切平面方程
由切点P (2,1,3)和法向量 $\overrightarrow {n}=(2,2,-1)$，得到切平面方程为 2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即 2x+2y-z-3=0。
设切点P (x0,y0,z0)，则切点处的法向量为 $\overrightarrow {n}=({x}_{0},2{y}_{0},-1)$。
步骤 2：确定法向量与平面的平行关系
由已知条件，法向量与平面 $2x+2y-z=0$ 的法向量平行，即 $\dfrac {{x}_{0}}{2}=\dfrac {2{y}_{0}}{2}=\dfrac {-1}{-1}$。
步骤 3：求解切点坐标
由步骤2的条件，得到 ${x}_{0}=2$，${y}_{0}=1$。代入曲面方程求得 ${z}_{0}=\dfrac {{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=3$。
步骤 4：求解切平面方程
由切点P (2,1,3)和法向量 $\overrightarrow {n}=(2,2,-1)$，得到切平面方程为 2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即 2x+2y-z-3=0。