求(int )_(1)^+infty dfrac (dx)(xsqrt {2{x)^2-1}}=

考查要点：本题主要考查无穷限积分的计算，需要掌握变量替换法将复杂积分转化为标准形式的能力，以及对反三角函数积分公式的应用。

解题核心思路：

1. 观察被积函数结构，分母中的$\sqrt{2x^2 -1}$提示可能通过代数替换简化表达式。
2. 引入变量替换，令$u = \dfrac{1}{\sqrt{2}x}$，将原积分转化为关于$u$的标准反正弦积分形式。
3. 处理积分上下限，注意替换后上下限的变化及符号调整，最终通过反三角函数的不定积分公式求解。

破题关键点：

• 正确选择替换变量，使得根号内表达式简化为$1 - u^2$的形式。
• 准确计算微分关系，确保替换后积分表达式与原式等价。
• 灵活应用积分公式，将积分转化为$\int \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}}$的标准形式。

变量替换：
令$u = \dfrac{1}{\sqrt{2}x}$，则$x = \dfrac{1}{\sqrt{2}u}$，微分关系为：
$du = -\dfrac{1}{\sqrt{2}x^2}dx \quad \Rightarrow \quad dx = -\sqrt{2}x^2 du$

积分上下限调整：
当$x = 1$时，$u = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$；当$x \to +\infty$时，$u \to 0$。因此，原积分变为：
$\int_{1}^{+\infty} \dfrac{dx}{x\sqrt{2x^2 -1}} = \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0} \dfrac{-\sqrt{2}x^2 du}{x\sqrt{2x^2 -1}}$

化简被积函数：
将$x = \dfrac{1}{\sqrt{2}u}$代入分母：
$\sqrt{2x^2 -1} = \sqrt{2 \cdot \dfrac{1}{2u^2} -1} = \sqrt{\dfrac{1}{u^2} -1} = \dfrac{\sqrt{1 - u^2}}{u}$

代入积分表达式并化简：
$\begin{aligned}\text{原积分} &= \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0} \dfrac{-\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2u^2} du}{\dfrac{1}{\sqrt{2}u} \cdot \dfrac{\sqrt{1 - u^2}}{u}} \\&= \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0} \dfrac{-\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2u^2} du}{\dfrac{\sqrt{1 - u^2}}{\sqrt{2}u^2}} \\&= -\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}}\end{aligned}$

计算积分：
利用标准积分公式$\int \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \arcsin u + C$，得：
$-\left[ \arcsin u \right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0} = -\left( \arcsin 0 - \arcsin \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\left( 0 - \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\pi}{4}$