(13)设(x_{n)}为数列，则下列结论正确的是（）. ①若(arctan x_{n)}收敛，则(x_{n)}收敛； ②若(arctan x_{n)}单调，则(x_{n)}收敛； ③若x_(n)in[-1,1]，且(x_{n)}收敛，则(arcsin x_{n)}收敛； ④若x_(n)in[-1,1]，且(x_{n)}单调，则(arcsin x_{n)}收敛.A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④

考查要点：本题主要考查数列收敛性与单调性的传递性，结合反正切（$\arctan$）和反正弦（$\arcsin$）函数的性质进行判断。

解题核心思路：

1. 函数单调性与连续性：$\arctan x$在$\mathbb{R}$上单调递增但非连续到无穷远；$\arcsin x$在$[-1,1]$上连续且单调递增。
2. 收敛性传递：若原数列通过连续函数变换后收敛，需判断原数列是否必然收敛；反之，若变换后的数列单调，需结合有界性判断原数列收敛性。
3. 关键反例：通过构造反例（如$\arctan x_n$收敛但$x_n$发散）排除错误选项。

破题关键点：

• 选项①：$\arctan x$在$x \to \pm\infty$时趋于$\pm\frac{\pi}{2}$，但$\tan$函数在$\frac{\pi}{2}$处不连续，故$\arctan x_n$收敛无法保证$x_n$收敛。
• 选项③④：$\arcsin x$在$[-1,1]$上连续且单调，结合$x_n$的收敛性或单调有界性，可推出$\arcsin x_n$收敛。

选项①分析

若$\arctan x_n$收敛，则其极限$L \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。此时$x_n = \tan(\arctan x_n)$，但$\tan x$在$x \to \frac{\pi}{2}$时趋于$+\infty$，即使$\arctan x_n$收敛到$\frac{\pi}{2}$，$x_n$也可能发散。例如：取$x_n = n$，则$\arctan x_n \to \frac{\pi}{2}$，但$x_n$发散。①错误。

选项②分析

若$\arctan x_n$单调，但未说明是否有界。例如：取$x_n = n$，则$\arctan x_n$单调递增且趋于$\frac{\pi}{2}$，但$x_n$发散。②错误。

选项③分析

若$x_n \in [-1,1]$且$x_n$收敛，则$x_n \to a \in [-1,1]$。由于$\arcsin x$在$[-1,1]$上连续，故$\arcsin x_n \to \arcsin a$。③正确。

选项④分析

若$x_n \in [-1,1]$且单调，则$x_n$必收敛（单调有界定理）。同理，$\arcsin x_n$由连续性收敛。④正确。