超导体在磁场中的效应电子是基本粒子，电子不仅带有单位负电荷，而且还因为具有自旋角动量而具有内禀磁矩．根据库仑定律，真空中的电子由于带有相同的负电荷而彼此排斥．但在某些金属中，由于晶格的振动，电子之间的净作用力可以变为吸引力．当金属温度低于临界温度 Tc 时，具有相反动量方向和相反自旋方向的电子可以形成所谓的“电子对”，称为“库珀对”(Copperpairs)．金属中自由运动的电子的能量为 p22me，其中 p 为电子动量，me 为电子质量．当金属中的两个电子形成库珀对后，库珀对中每个电子的能量与自由电子的能量 p22me 相比减少了 Δ．库珀对可以在金属中不受阻力地自由运动，因此金属处于超导状态．但是对于放在外磁场中的金属超导体，即使金属温度低于临界温度 Tc，磁场也能破坏金属的超导状态，使得金属回归正常状态．外磁场通过两种效应破坏金属的超导状态．第一种效应是“顺磁效应”：超导状态下库珀对中的两个电子具有相反的自旋方向．但是在外加磁场中，所有电子的自旋方向相同并且平行于外磁场方向，因而具有的能量比形成库珀对时的能量更低，所以不能形成库珀对．第二种效应是“抗磁效应”：当库珀对处于磁场中时，磁场的存在会改变库珀对中电子的运行轨道，进而增加其能量．当外加磁场的磁感应强度大于临界值 Bc 时，抗磁效应使得库珀对增加的能量多于 2Δ，于是两个电子不再能形成库珀对．近年来，物理学家发现了被称为“伊辛超导体”的新型超导体．伊辛超导体能在强达 60T(这是目前实验室中可以产生的最强磁感应强度)的磁场中依然维持超导状态．本题希望解决库珀对在磁场中的效应，从而理解为什么伊辛超导体能够抵抗顺磁效应和抗磁效应从而保持超导状态．(1)磁场中的电子考虑质量和电荷都均匀分布、半径为 r、带电量为 −e、质量为 m 的圆环，如图T17.3.1所示．w-|||-l-|||-一-|||---------- . l-|||-r-|||-A-|||-y-|||-x-|||-图 T17.3.1(1)当圆环以角速度 ω 转动时，求圆环的角动量 L 的大小和方向．(2)已知圆环磁矩 M 的大小 |M|=IA，其中 I 是电流，A 是圆环包围的面积．求圆环磁矩 M 和圆环角动量 L 之间的关系．设圆环的法线方向的单位矢量为 n，且 n 与外磁场 B 之间的夹角为 θ，如图T17.3.2所示．w-|||-l-|||-一-|||---------- . l-|||-r-|||-A-|||-y-|||-x-|||-图 T17.3.1(3)设外加磁场 B=Bz^z 是匀强磁场．对于(A1)小题中的圆环，将其置于外加匀强磁场 B=Bz^z 中，求圆环的势能 U 的表达式．设 θ=π2 时，圆环的势能为 0．电子具有内禀角动量，称为自旋角动量．电子在某一给定方向上的自旋角动量的大小是 ℏ2，其中 ℏ=h2π，h 是普朗克常量．(4)求电子自旋方向与外加磁场方向一致时电子的势能 U上 的表达式；求电子自旋方向与外加磁场方向反向时电子的势能 U下 的表达式．请用玻尔磁子 μB=eℏ2me=5.788×10−5eV/T 和外加磁场的磁感应强度 B 表示．(5)事实上，根据量子力学理论，电子在磁场中的势能 ~U上 和 ~U下 实际上是(A4)小题中得到的 U上 和 U下 的 2 倍．假设外加磁场的磁感应强度为 1T．当电子的自旋方向与外加磁场方向一致和相反时，分别求 ~U上 和 ~U下 的值．在后面的问题中需要利用电子在磁场中的势能时，应利用本小题中的 ~U上 和 ~U下 进行计算．(2)外磁场中的顺磁效应对库珀对的影响本部分考虑外磁场中的顺磁效应对库珀对的影响，如图T17.3.3所示．理论研究表明，在超导体中，自旋方向相反的两个电子通过形成库珀对的方式降低系统的总能量．已知库珀对的能量为 p212me+p222mc−2Δ，其中前两项是库珀对中两个电子的动能，最后一项是电子形成库珀对之后减少的能量，其中 Δ 是正的常数．w-|||-l-|||-一-|||---------- . l-|||-r-|||-A-|||-y-|||-x-|||-图 T17.3.1(1)假设外磁场仅作用于电子的自旋，而对电子的轨道运动没有影响．当库珀对置于匀强磁场 B=(Bx,0,0) 中时，求库珀对的能量 ES 的表达式．注意：库珀对中两个电子的自旋是相反的(2)正常状态(非超导状态)下，电子不会形成库珀对．当正常状态的两个电子置于匀强磁场 B=(Bx,0,0) 中时，求两个电子的总能量 EN 的表达式．注意：请使用(A5)小题中的 ~U上 和 ~U下 进行计算，并忽略外磁场对电子轨道运动的影响．(3)绝对零度时，系统处于能量的最低状态．当外加磁场|B|>临界磁场 BP 时，超导体的超导现象消失，求临界磁场 BP 的表达式，用 Δ 表示．(3)外磁场中的抗磁效应对库珀对的影响本部分中忽略外加磁场对电子自旋的影响，只考虑外加磁场对库珀对电子的轨道运动的作用．绝对零度时，在匀强磁场 B=(0,0,Bz) 作用下，超导状态和正常状态之间的电子对的能量差为F=∫+∞−∞ψ(x)⋅[−αψ(x)−ℏ24med2ψ(x)dx2+e2B2zx2ψ(x)me]dx=∫+∞−∞−αψ2(x)dx+∫+∞−∞−ψ(x)ℏ24med2ψ(x)dx2dx+∫+∞−∞e2B2zx2ψ2(x)medx其中 ψ(x) 是坐标 x 的函数，与坐标 y 无关．ψ2(x) 是在库珀对出现在 x 处的概率密度．α 是正的常数，与两个电子形成库珀对后系统能量的降低有关．F 中的第二项和第三项与磁场中库珀对的动能和外加磁场中的能量变化有关．绝对零度时，系统倾向于处于能量 F 的最低状态，此时，ψ(x) 可以表示为ψ(x)=(2λπ)14e−λx2其中λ>0．(1)求 λ 的表达式，用 e，Bz 和 ℏ 表示．参考公式：∫+∞−∞e−ax2dx=√πa，∫+∞−∞x2e−ax2dx=12a√πa(2)当外加磁场恰好等于临界磁场强度 Bz 时，超导状态与正常状态的能量相同，即当外加磁场大于临界磁场时，系统将不再从能量角度形成超导体．求临界磁感应强度 Bz，用 α 表示．(4)伊辛超导体在具有自旋-轨道耦合(忽略自旋-自旋耦合)的物质中，具有动量 p 的电子受到内磁场 B1⊥=(0,0,−Bz) 的作用，具有动量 −p 的电子受到相反的内磁场 B2⊥=(0,0,Bz) 的作用．两个内磁场只影响电子的自旋，如图T17.3.4所示．具有这种内磁场的超导体称为伊辛超导体．w-|||-l-|||-一-|||---------- . l-|||-r-|||-A-|||-y-|||-x-|||-图 T17.3.1虚线箭头表示内磁场．电子 1 具有动量 +p，受内磁场 B1⊥=(0,0,−Bz) 作用；电子 2 具有动量 −p，受内磁场 B2⊥=(0,0,+Bz) 作用．(1)求伊辛超导体中库珀对的能量 E1 的表达式．(2)具有自旋−轨道耦合的物质处于通常状态下时置于磁场 B/=(Bx,0,0) 中，求两个电子的总能量 E/ 的表达式．注意：此时内磁场与 B/ 垂直，忽略磁场 B/ 对库珀对电子运动轨道的影响．(3)求临界磁场强度 B1 的表达式，要求对于 ∣∣B/∣∣>B1，E/
超导体在磁场中的效应
电子是基本粒子，电子不仅带有单位负电荷，而且还因为具有自旋角动量而具有内禀磁矩．根据库仑定律，真空中的电子由于带有相同的负电荷而彼此排斥．但在某些金属中，由于晶格的振动，电子之间的净作用力可以变为吸引力．当金属温度低于临界温度 Tc 时，具有相反动量方向和相反自旋方向的电子可以形成所谓的“电子对”，称为“库珀对”(Copperpairs)．金属中自由运动的电子的能量为 p22me，其中 p 为电子动量，me 为电子质量．当金属中的两个电子形成库珀对后，库珀对中每个电子的能量与自由电子的能量 p22me 相比减少了 Δ．库珀对可以在金属中不受阻力地自由运动，因此金属处于超导状态．
但是对于放在外磁场中的金属超导体，即使金属温度低于临界温度 Tc，磁场也能破坏金属的超导状态，使得金属回归正常状态．外磁场通过两种效应破坏金属的超导状态．
第一种效应是“顺磁效应”：超导状态下库珀对中的两个电子具有相反的自旋方向．但是在外加磁场中，所有电子的自旋方向相同并且平行于外磁场方向，因而具有的能量比形成库珀对时的能量更低，所以不能形成库珀对．
第二种效应是“抗磁效应”：当库珀对处于磁场中时，磁场的存在会改变库珀对中电子的运行轨道，进而增加其能量．当外加磁场的磁感应强度大于临界值 Bc 时，抗磁效应使得库珀对增加的能量多于 2Δ，于是两个电子不再能形成库珀对．
近年来，物理学家发现了被称为“伊辛超导体”的新型超导体．伊辛超导体能在强达 60T(这是目前实验室中可以产生的最强磁感应强度)的磁场中依然维持超导状态．本题希望解决库珀对在磁场中的效应，从而理解为什么伊辛超导体能够抵抗顺磁效应和抗磁效应从而保持超导状态．
(1)磁场中的电子
考虑质量和电荷都均匀分布、半径为 r、带电量为 −e、质量为 m 的圆环，如图T17.3.1所示．
当圆环以角速度 ω 转动时，求圆环的角动量 L 的大小和方向．
(2)已知圆环磁矩 M 的大小 |M|=IA，其中 I 是电流，A 是圆环包围的面积．求圆环磁矩 M 和圆环角动量 L 之间的关系．
设圆环的法线方向的单位矢量为 n，且 n 与外磁场 B 之间的夹角为 θ，如图T17.3.2所示．
设外加磁场 B=Bz^z 是匀强磁场．对于(A1)小题中的圆环，将其置于外加匀强磁场 B=Bz^z 中，求圆环的势能 U 的表达式．设 θ=π2 时，圆环的势能为 0．
电子具有内禀角动量，称为自旋角动量．电子在某一给定方向上的自旋角动量的大小是 ℏ2，其中 ℏ=h2π，h 是普朗克常量．
(4)求电子自旋方向与外加磁场方向一致时电子的势能 U上 的表达式；求电子自旋方向与外加磁场方向反向时电子的势能 U下 的表达式．请用玻尔磁子 μB=eℏ2me=5.788×10−5eV/T 和外加磁场的磁感应强度 B 表示．
(5)事实上，根据量子力学理论，电子在磁场中的势能 ~U上 和 ~U下 实际上是(A4)小题中得到的 U上 和 U下 的 2 倍．
假设外加磁场的磁感应强度为 1T．当电子的自旋方向与外加磁场方向一致和相反时，分别求 ~U上 和 ~U下 的值．
在后面的问题中需要利用电子在磁场中的势能时，应利用本小题中的 ~U上 和 ~U下 进行计算．
(2)外磁场中的顺磁效应对库珀对的影响
本部分考虑外磁场中的顺磁效应对库珀对的影响，如图T17.3.3所示．
理论研究表明，在超导体中，自旋方向相反的两个电子通过形成库珀对的方式降低系统的总能量．已知库珀对的能量为 p212me+p222mc−2Δ，其中前两项是库珀对中两个电子的动能，最后一项是电子形成库珀对之后减少的能量，其中 Δ 是正的常数．
假设外磁场仅作用于电子的自旋，而对电子的轨道运动没有影响．当库珀对置于匀强磁场 B=(Bx,0,0) 中时，求库珀对的能量 ES 的表达式．
注意：库珀对中两个电子的自旋是相反的
(2)正常状态(非超导状态)下，电子不会形成库珀对．当正常状态的两个电子置于匀强磁场 B=(Bx,0,0) 中时，求两个电子的总能量 EN 的表达式．
注意：请使用(A5)小题中的 ~U上 和 ~U下 进行计算，并忽略外磁场对电子轨道运动的影响．
(3)绝对零度时，系统处于能量的最低状态．当外加磁场|B|>临界磁场 BP 时，超导体的超导现象消失，求临界磁场 BP 的表达式，用 Δ 表示．
(3)外磁场中的抗磁效应对库珀对的影响
本部分中忽略外加磁场对电子自旋的影响，只考虑外加磁场对库珀对电子的轨道运动的作用．
绝对零度时，在匀强磁场 B=(0,0,Bz) 作用下，超导状态和正常状态之间的电子对的能量差为
F=∫+∞−∞ψ(x)⋅[−αψ(x)−ℏ24med2ψ(x)dx2+e2B2zx2ψ(x)me]dx
=∫+∞−∞−αψ2(x)dx+∫+∞−∞−ψ(x)ℏ24med2ψ(x)dx2dx+∫+∞−∞e2B2zx2ψ2(x)medx
其中 ψ(x) 是坐标 x 的函数，与坐标 y 无关．ψ2(x) 是在库珀对出现在 x 处的概率密度．α 是正的常数，与两个电子形成库珀对后系统能量的降低有关．F 中的第二项和第三项与磁场中库珀对的动能和外加磁场中的能量变化有关．
绝对零度时，系统倾向于处于能量 F 的最低状态，此时，ψ(x) 可以表示为
ψ(x)=(2λπ)14e−λx2
其中λ>0．
(1)求 λ 的表达式，用 e，Bz 和 ℏ 表示．
参考公式：
∫+∞−∞e−ax2dx=√πa，∫+∞−∞x2e−ax2dx=12a√πa
(2)当外加磁场恰好等于临界磁场强度 Bz 时，超导状态与正常状态的能量相同，即当外加磁场大于临界磁场时，系统将不再从能量角度形成超导体．求临界磁感应强度 Bz，用 α 表示．
(4)伊辛超导体
在具有自旋-轨道耦合(忽略自旋-自旋耦合)的物质中，具有动量 p 的电子受到内磁场 B1⊥=(0,0,−Bz) 的作用，具有动量 −p 的电子受到相反的内磁场 B2⊥=(0,0,Bz) 的作用．两个内磁场只影响电子的自旋，如图T17.3.4所示．具有这种内磁场的超导体称为伊辛超导体．
虚线箭头表示内磁场．电子 1 具有动量 +p，受内磁场 B1⊥=(0,0,−Bz) 作用；电子 2 具有动量 −p，受内磁场 B2⊥=(0,0,+Bz) 作用．
(1)求伊辛超导体中库珀对的能量 E1 的表达式．
(2)具有自旋−轨道耦合的物质处于通常状态下时置于磁场 B//=(Bx,0,0) 中，求两个电子的总能量 E// 的表达式．注意：此时内磁场与 B// 垂直，忽略磁场 B// 对库珀对电子运动轨道的影响．
(3)求临界磁场强度 B1 的表达式，要求对于 ∣∣B//∣∣>B1，E//
题目解答
答案
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- (5)
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- (2)
- (1)
ES=p212me+p222me−2Δ
- (2)
EN=p212mc+p222mc−2μBBx
- (3)
Bx>ΔμB=2mcΔeℏ
- (3)
- (1)
λ=eBzℏ
- (2)
Bz=2meαℏe
- (4)
- (1)
E1=p212me+p222me−2Δ−2μBBz=p212me+p222me−2Δ−eℏmeBz
- (2)
E//=p212me+p222me−2μBB=p212me+p222me−eℏme√B2x+B2z
- (3)
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