题目
[例3.3.3] 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为-|||-f(x,y)= 0,其他.-|||-,0lt xlt 1,0lt ylt x,-|||-求条件概率密度和条件概率 Ygt dfrac {1)(4)|X=dfrac (1)(2)} .
题目解答
答案
解析
步骤 1：求边缘概率密度函数
为了求条件概率密度，我们首先需要求出X和Y的边缘概率密度函数。对于X的边缘概率密度函数${f}_{x}(x)$，我们对联合密度函数$f(x,y)$在$y$的范围内进行积分。对于Y的边缘概率密度函数${f}_{y}(y)$，我们对联合密度函数$f(x,y)$在$x$的范围内进行积分。
步骤 2：计算边缘概率密度函数
对于X的边缘概率密度函数${f}_{x}(x)$，我们有：
${f}_{x}(x) = \int_{0}^{x} 3x dy = 3x^2$，其中$0 < x < 1$。
对于Y的边缘概率密度函数${f}_{y}(y)$，我们有：
${f}_{y}(y) = \int_{y}^{1} 3x dx = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}y^2$，其中$0 < y < 1$。
步骤 3：求条件概率密度函数
条件概率密度函数${f}_{Y|x}(y|x)$是通过将联合密度函数$f(x,y)$除以边缘概率密度函数${f}_{x}(x)$得到的。同理，条件概率密度函数${f}_{X|y}(x|y)$是通过将联合密度函数$f(x,y)$除以边缘概率密度函数${f}_{y}(y)$得到的。
步骤 4：计算条件概率密度函数
对于条件概率密度函数${f}_{Y|x}(y|x)$，我们有：
${f}_{Y|x}(y|x) = \frac{f(x,y)}{{f}_{x}(x)} = \frac{3x}{3x^2} = \frac{1}{x}$，其中$0 < y < x$。
对于条件概率密度函数${f}_{X|y}(x|y)$，我们有：
${f}_{X|y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{{f}_{y}(y)} = \frac{3x}{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}y^2} = \frac{2x}{1 - y^2}$，其中$y < x < 1$。
步骤 5：计算条件概率
对于条件概率$P\{ X\lt \dfrac {1}{4}\} X=\dfrac {1}{2}\}$，我们使用条件概率密度函数${f}_{X|y}(x|y)$，并将其在$0 < x < \frac{1}{4}$的范围内进行积分。
步骤 6：计算条件概率
$P\{ X\lt \dfrac {1}{4}\} X=\dfrac {1}{2}\} = \int_{0}^{\frac{1}{4}} {f}_{X|y}(x|\frac{1}{2}) dx = \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{2x}{1 - (\frac{1}{2})^2} dx = \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{2x}{\frac{3}{4}} dx = \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{1}{4}} x dx = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{12}$。
为了求条件概率密度，我们首先需要求出X和Y的边缘概率密度函数。对于X的边缘概率密度函数${f}_{x}(x)$，我们对联合密度函数$f(x,y)$在$y$的范围内进行积分。对于Y的边缘概率密度函数${f}_{y}(y)$，我们对联合密度函数$f(x,y)$在$x$的范围内进行积分。
步骤 2：计算边缘概率密度函数
对于X的边缘概率密度函数${f}_{x}(x)$，我们有：
${f}_{x}(x) = \int_{0}^{x} 3x dy = 3x^2$，其中$0 < x < 1$。
对于Y的边缘概率密度函数${f}_{y}(y)$，我们有：
${f}_{y}(y) = \int_{y}^{1} 3x dx = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}y^2$，其中$0 < y < 1$。
步骤 3：求条件概率密度函数
条件概率密度函数${f}_{Y|x}(y|x)$是通过将联合密度函数$f(x,y)$除以边缘概率密度函数${f}_{x}(x)$得到的。同理，条件概率密度函数${f}_{X|y}(x|y)$是通过将联合密度函数$f(x,y)$除以边缘概率密度函数${f}_{y}(y)$得到的。
步骤 4：计算条件概率密度函数
对于条件概率密度函数${f}_{Y|x}(y|x)$，我们有：
${f}_{Y|x}(y|x) = \frac{f(x,y)}{{f}_{x}(x)} = \frac{3x}{3x^2} = \frac{1}{x}$，其中$0 < y < x$。
对于条件概率密度函数${f}_{X|y}(x|y)$，我们有：
${f}_{X|y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{{f}_{y}(y)} = \frac{3x}{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}y^2} = \frac{2x}{1 - y^2}$，其中$y < x < 1$。
步骤 5：计算条件概率
对于条件概率$P\{ X\lt \dfrac {1}{4}\} X=\dfrac {1}{2}\}$，我们使用条件概率密度函数${f}_{X|y}(x|y)$，并将其在$0 < x < \frac{1}{4}$的范围内进行积分。
步骤 6：计算条件概率
$P\{ X\lt \dfrac {1}{4}\} X=\dfrac {1}{2}\} = \int_{0}^{\frac{1}{4}} {f}_{X|y}(x|\frac{1}{2}) dx = \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{2x}{1 - (\frac{1}{2})^2} dx = \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{2x}{\frac{3}{4}} dx = \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{1}{4}} x dx = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{12}$。