题目
（本题满分12分） 如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
（本题满分12分）
如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
题目解答
答案
【解析】解应用题关键是建立函数模型，本小题可设小正方形的边长为
厘米，则盒子底面长为
，宽为
，所以
,然后利用导数求最值即可。
解：设小正方形的边长为厘米，则盒子底面长为，宽为
，
（舍去）
，在定义域内仅有一个极大值，
解析
步骤 1：确定变量
设小正方形的边长为$x$厘米，则盒子底面长为$8-2x$厘米，宽为$5-2x$厘米。
步骤 2：建立体积函数
盒子的体积$V$可以表示为底面积乘以高，即$V=(8-2x)(5-2x)x$。展开后得到$V=4x^3-26x^2+40x$。
步骤 3：求导数并找到临界点
对体积函数$V$求导，得到$V'=12x^2-52x+40$。令$V'=0$，解得$x=1$或$x=\frac{10}{3}$。由于$x=\frac{10}{3}$不满足实际条件（盒子的长和宽都必须大于0），因此只考虑$x=1$。
步骤 4：验证临界点
由于$V''=24x-52$，当$x=1$时，$V''=-28<0$，说明$x=1$时$V$取得极大值，即此时盒子的容积最大。
设小正方形的边长为$x$厘米，则盒子底面长为$8-2x$厘米，宽为$5-2x$厘米。
步骤 2：建立体积函数
盒子的体积$V$可以表示为底面积乘以高，即$V=(8-2x)(5-2x)x$。展开后得到$V=4x^3-26x^2+40x$。
步骤 3：求导数并找到临界点
对体积函数$V$求导，得到$V'=12x^2-52x+40$。令$V'=0$，解得$x=1$或$x=\frac{10}{3}$。由于$x=\frac{10}{3}$不满足实际条件（盒子的长和宽都必须大于0），因此只考虑$x=1$。
步骤 4：验证临界点
由于$V''=24x-52$，当$x=1$时，$V''=-28<0$，说明$x=1$时$V$取得极大值，即此时盒子的容积最大。