2.根据定义证明:-|||-(2) =xsin dfrac (1)(x) 为当 arrow 0 时的无穷小.

考查要点：本题主要考查无穷小的定义及其证明方法，需要结合三角函数的有界性进行放缩处理。

解题核心思路：

1. 利用三角函数的有界性：$\sin \frac{1}{x}$ 的绝对值不超过1，即 $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$。
2. 构造不等式：将原函数 $x \sin \frac{1}{x}$ 的绝对值与 $|x|$ 进行比较，得到 $|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|$。
3. 应用无穷小定义：根据定义，对任意 $\varepsilon > 0$，只需取 $\delta = \varepsilon$，即可保证当 $0 < |x| < \delta$ 时，$|x \sin \frac{1}{x}| < \varepsilon$。

步骤1：分析函数的绝对值
由 $\sin \frac{1}{x}$ 的有界性，得：
$|x \sin \frac{1}{x}| = |x| \cdot |\sin \frac{1}{x}| \leq |x| \cdot 1 = |x|.$

步骤2：应用无穷小定义
根据无穷小的定义，对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$。
当 $0 < |x| < \delta$ 时，有：
$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| < \delta = \varepsilon.$

结论：
因此，$x \sin \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时为无穷小。