(6) int dfrac (dx)(1+sqrt {1-{x)^2}} ;

步骤 1：变量替换
令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t \, dt$，且 $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t$。因此，原积分变为
$$
\int \frac{\cos t \, dt}{1 + \cos t}。
$$
步骤 2：分部积分
为了简化积分，我们使用分部积分法。首先，将被积函数写为
$$
\frac{\cos t}{1 + \cos t} = 1 - \frac{1}{1 + \cos t}。
$$
因此，原积分变为
$$
\int \left(1 - \frac{1}{1 + \cos t}\right) dt = \int dt - \int \frac{dt}{1 + \cos t}。
$$
步骤 3：计算积分
第一个积分 $\int dt = t + C$。对于第二个积分，我们使用三角恒等式 $\cos t = 1 - 2\sin^2(t/2)$，得到
$$
\int \frac{dt}{1 + \cos t} = \int \frac{dt}{2\cos^2(t/2)} = \frac{1}{2} \int \sec^2(t/2) \, dt = \tan(t/2) + C。
$$
因此，原积分变为
$$
t - \tan(t/2) + C。
$$
步骤 4：回代变量
由于 $x = \sin t$，则 $t = \arcsin x$。因此，原积分变为
$$
\arcsin x - \tan(\arcsin x / 2) + C。
$$
步骤 5：简化表达式
注意到 $\tan(\arcsin x / 2) = \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}$，因此原积分变为
$$
\arcsin x + C + \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}。
$$